Яким буде косинус кута А трикутника АВС, якщо координати точок А, В і С задані як А(-3; 2), В(5; 3), С(-4

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой для нахождения косинуса угла в прямоугольной системе координат.

Формула для вычисления косинуса угла между двумя векторами выглядит следующим образом:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\text{скалярное произведение вектора } \mathbf{A} \text{ и вектора } \mathbf{B}}}{{|\mathbf{A}| \times |\mathbf{B}|}}
\]

где \(\mathbf{A}\) и \(\mathbf{B}\) - это векторы, \(|\mathbf{A}|\) и \(|\mathbf{B}|\) - их длины.

Теперь найдем векторы \(\mathbf{A}\) и \(\mathbf{B}\) с помощью заданных координат точек.

Вектор \(\mathbf{A}\) можно найти, вычтя координаты точки \(A\) из координат точки \(B\):

\[
\mathbf{A} = (x_A, y_A) = (5 - (-3), 3 - 2) = (8, 1)
\]

Аналогично, вектор \(\mathbf{B}\) можно найти, вычтя координаты точки \(A\) из координат точки \(C\):

\[
\mathbf{B} = (x_B, y_B) = (-4 - (-3), 2 - 2) = (-1, 0)
\]

Теперь найдём длины векторов \(|\mathbf{A}|\) и \(|\mathbf{B}|\):

\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{x_A^2 + y_A^2} = \sqrt{8^2 + 1^2} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}
\]

\[
|\mathbf{B}| = \sqrt{x_B^2 + y_B^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 0} = \sqrt{1} = 1
\]

Теперь осталось вычислить скалярное произведение вектора \(\mathbf{A}\) и вектора \(\mathbf{B}\):

\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = x_A \cdot x_B + y_A \cdot y_B = 8 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = -8
\]

Теперь можем подставить полученные значения в формулу для косинуса угла:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}}{{|\mathbf{A}| \times |\mathbf{B}|}} = \frac{{-8}}{{\sqrt{65} \times 1}} = \frac{{-8}}{{\sqrt{65}}}
\]

Итак, косинус угла треугольника ABC будет равен \(\frac{{-8}}{{\sqrt{65}}}\).

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как получить ответ. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда здесь, чтобы помочь вам.