Якіє значення займає площа області, обмеженої графіками функцій y=x^2-2*x-3 та y=3-x?

Для решения этой задачи нужно найти точки пересечения графиков функций \(y = x^2 - 2x - 3\) и \(y = 3 - x\). Затем определить, какие из этих точек находятся выше или ниже другой функции. Площадь области будет равна разности между интегралами от \(y = x^2 - 2x - 3\) и \(y = 3 - x\) на соответствующем интервале между точками пересечения.

Шаг 1: Находим точки пересечения графиков. Для этого ставим уравнения \(x^2 - 2x - 3 = 3 - x\) равными друг другу и решаем это уравнение:

\[x^2 - 2x - 3 = 3 - x\]

Переносим все термины влево:

\[x^2 - x - 6 = 0\]

Факторизуем это уравнение:

\[(x - 3)(x + 2) = 0\]

Получаем два возможных значения \(x\): \(x = 3\) и \(x = -2\).

Шаг 2: Определяем, какие из этих точек находятся выше или ниже другой функции.

Подставляем найденные значения \(x\) в \(y = 3 - x\) и \(y = x^2 - 2x - 3\) для определения их соответствующих \(y\)-значений:

Для \(x = 3\):
\[y = 3 - 3 = 0\] (для \(y = 3 - x\))
\[y = 3^2 - 2 \cdot 3 - 3 = 3\] (для \(y = x^2 - 2x - 3\))

Для \(x = -2\):
\[y = 3 - (-2) = 5\] (для \(y = 3 - x\))
\[y = (-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 3 = 7\] (для \(y = x^2 - 2x - 3\))

Шаг 3: Вычисляем площадь области, ограниченной графиками функций.

Чтобы найти площадь области между графиками, нужно вычислить разность между интегралами функций \(y = x^2 - 2x - 3\) и \(y = 3 - x\) на интервале от \(x = -2\) до \(x = 3\):

\[Площадь = \int_{-2}^{3} (x^2 - 2x - 3) - (3 - x)\, dx\]

Вычисляем данный интеграл:

\[Площадь = \int_{-2}^{3} (x^2 - 3x - 2)\, dx\]

Проводя вычисления, получаем:

\[Площадь = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} - 2x \right]_{-2}^{3}\]

\[Площадь = \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3 \cdot 3^2}{2} - 2 \cdot 3 \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} - \frac{3 \cdot (-2)^2}{2} - 2 \cdot (-2) \right)\]

\[Площадь = (9 - \frac{27}{2} - 6) - (- \frac{8}{3} - 6 + 4)\]

\[Площадь = (9 - \frac{27}{2} - 6) - (- \frac{8}{3} - 2)\]

\[Площадь = (12 - \frac{27}{2}) - (\frac{2}{3} - 2)\]

Выполняя оставшиеся вычисления, получаем:

\[Площадь = \frac{21}{2} - \frac{4}{3}\]

\[Площадь = \frac{21 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}\]

\[Площадь = \frac{63}{6} - \frac{8}{6}\]

\[Площадь = \frac{55}{6}\]

Итак, площадь области, ограниченной графиками функций \(y = x^2 - 2x - 3\) и \(y = 3 - x\), равна \(\frac{55}{6}\).