В пределах какого числа деталей отличного качества, с вероятностью 0,99, будет находиться 80% продукции цеха при взятии

Данная задача связана с понятием предела нормированной выборки. Давайте решим ее пошагово.

Шаг 1: Понимание задачи
Вам нужно найти число деталей отличного качества, в пределах которого будет находиться 80% продукции цеха при взятии 10000 деталей. Вероятность того, что деталь будет отличного качества, составляет 0,99.

Шаг 2: Определение стандартного отклонения
Чтобы решить задачу, необходимо знать стандартное отклонение (σ) доли успеха, которое можно найти с использованием следующей формулы:

\[
\sigma = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}
\]

где p - вероятность успеха (в данном случае 0,99), а n - объем выборки (10000 деталей).

Шаг 3: Вычисление стандартного отклонения
Подставим известные значения в формулу:

\[
\sigma = \sqrt{\frac{0,99(1-0,99)}{10000}}
\]

\[
\sigma = \sqrt{\frac{0,99 \cdot 0,01}{10000}}
\]

\[
\sigma = \sqrt{\frac{0,0099}{10000}}
\]

\[
\sigma \approx 0,0099
\]

Шаг 4: Вычисление доверительного интервала
Теперь, когда у нас есть стандартное отклонение, мы можем вычислить доверительный интервал. Доверительный интервал представляет собой интервал значений, в пределах которого с определенной вероятностью находится истинное значение.

Задано, что 80% продукции цеха находится в доверительном интервале. Чтобы найти значения интервала, нужно найти два числа, таких что 80% наблюдений находится между ними, а по бокам от них остается по 10% наблюдений.

Из статистической таблицы имеем, что для нормального распределения с вероятностью 0,90 необходимо доверительные границы поставить на расстоянии 1,64 стандартных отклонений от выборочного среднего. Так как нам нужно покрыть 80% наблюдений, а сумма вероятностей в обоих концах графика составляет 0,10, то по каждую сторону нам нужно по 0,05 (0,10 / 2.) Из таблицы также можно найти значение, соответствующее 0,05 вероятности.

Таким образом, нижняя граница будет равна выборочному среднему минусу 1,64 стандартных отклонений, а верхняя граница будет равна выборочному среднему плюсу 1,64 стандартных отклонений.

\[
x_{нижняя} = p - 1,64 \cdot \sigma
\]

\[
x_{верхняя} = p + 1,64 \cdot \sigma
\]

Подставим значения:

\[
x_{нижняя} = 0,8 - 1,64 \cdot 0,0099 \approx 0,7834
\]

\[
x_{верхняя} = 0,8 + 1,64 \cdot 0,0099 \approx 0,8166
\]

Ответ: Следовательно, при взятии 10000 деталей отличного качества, с вероятностью 0,99, будет находиться между 7834 и 8166 деталями.