Які значення початкової швидкості та прискорення точки, яка рухається, можна отримати з залежності координат від часу

Для розв"язання цієї задачі, нам потрібно визначити початкову швидкість \(v_0\) та прискорення \(a\) точки, яка рухається, з заданої залежності координат від часу \(x = 4 + 5t - 2t^2\).

Щоб знайти початкову швидкість, ми повинні взяти першу похідну функції \(x\) по відношенню до \(t\):

\[
v(t) = \frac{{dx}}{{dt}} = 5 - 4t
\]

Тепер, щоб знайти \(v_0\), ми можемо підставити значення \(t = 0\) у вираз \(v(t)\):

\[
v_0 = v(0) = 5 - 4(0) = 5
\]

Отже, початкова швидкість \(v_0\) дорівнює 5.

Для визначення прискорення \(a\), ми повинні взяти другу похідну функції \(x\) по відношенню до \(t\):

\[
a(t) = \frac{{d^2x}}{{dt^2}} = \frac{{d}}{{dt}}(5 - 4t) = -4
\]

Отже, прискорення \(a\) дорівнює -4.

Тепер перейдемо до побудови графіків.

Графік шляху \(x\) від часу \(t\) буде параболою. Зверху маємо залежність \(x = 4 + 5t - 2t^2\), де коефіцієнт при \(t^2\) дорівнює -2, що означає, що парабола відкрита догори. Також, оскільки коефіцієнт перед \(t\) додатний, парабола спрямована вправо.

Графік шляху може мати наступний вигляд:

\[
\begin{array}{cc}
y & x \\
\hline
5 & 4 \\
6 & 3 \\
2 & 0 \\
\end{array}
\]

Щоб побудувати графік швидкості \(v\) від часу \(t\), ми скористаємося виразом \(v(t) = 5 - 4t\). Графік буде лінією зі спадною нахилом, оскільки коефіцієнт перед \(t\) від"ємний.

Графік швидкості може мати наступний вигляд:

\[
\begin{array}{cc}
y & v \\
\hline
5 & 0 \\
1 & 1 \\
-3 & 2 \\
\end{array}
\]

Таким чином, ми отримали значення початкової швидкості \(v_0 = 5\) та прискорення \(a = -4\). Графік шляху має форму відкритої вверх параболи, а графік швидкості - негативно нахиленої лінії.