Якіє значення площі фігури, обмеженої кривими y=2sinx, y=cosx та x=π/2?

Для решения этой задачи, нам сначала нужно найти точки пересечения кривых y=2sinx и y=cosx. Затем, используя эти точки, мы определим интервалы, на которых находится фигура, и вычислим площадь каждой области.

1. Найдем точки пересечения кривых y=2sinx и y=cosx. Для этого приравняем уравнения и решим уравнение:

2sinx = cosx

Поделим обе части уравнения на cosx:

2tanx = 1

Разделите оба члены на 2:

tanx = 1/2

Теперь найдем все значения x, где tanx=1/2. Давайте воспользуемся таблицей значений tangens.

Таблица значений tangens:
x = 30°, tangens = 1/√3
x = 150°, tangens = -1/√3
x = 390°, tangens = -1/√3
x = 510°, tangens = 1/√3
...

Мы видим, что tangens равен 1/2 при x = 30° + n * 180°, где n - целое число.

Теперь у нас есть все значения x, в которых кривые пересекаются.

2. Определение интервалов.

Первый интервал:
Для нахождения первого интервала нам нужно определить значения x, где y=2sinx больше, чем y=cosx.
2sinx > cosx

Разделим оба члена на cosx (по условию задачи cosx ≠ 0):

2tanx > 1

Мы уже знаем, что tangens равен 1/2 при x = 30° + n * 180°. Построим таблицу значений tangens в этом интервале:

x = 30°, tangens = 1/√3
x = 210°, tangens = 1/√3
...

Таким образом, первый интервал, где y=2sinx больше, чем y=cosx - это от x=30° до x=210°.

Второй интервал:
Для нахождения второго интервала нам нужно определить значения x, где y=cosx больше, чем y=2sinx.
cosx > 2sinx

Разделим оба члена на cosx (по условию задачи cosx ≠ 0):

1 > 2tanx

Такой интервал x не существует, потому что 1 > 2tanx никогда не выполняется для всех значений x.

3. Вычисление площадей.

Теперь, когда мы определили интервалы, на которых находится фигура, мы можем вычислить площади каждой области:

Первый интервал: от x=30° до x=210°.
Формула для вычисления площади под кривой y=f(x) на интервале [a, b] - это интеграл от a до b фукнции f(x) по x:

S1 = ∫[30°, 210°] (2sinx - cosx) dx

S1 = [-2cosx - sinx] [30°, 210°]

S1 = (-2cos210° - sin210°) - (-2cos30° - sin30°)

S1 ≈ 0.732

Площадь первого интервала составляет приблизительно 0.732 квадратных единиц.

Итак, ответ: Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=2sinx, y=cosx и x=π/2, равна приблизительно 0.732 квадратных единиц.