Які відрізки утворюють бісектрису прямого кута прямокутного трикутника на гіпотенузі, якщо їх довжини дорівнюють

Для начала, давайте вспомним определение биссектрисы. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника - это отрезок, который делит прямой угол на два равных угла. Таким образом, у нас есть треугольник с прямым углом и двумя биссектрисами, длины которых составляют 30 и 40 см.

Чтобы найти биссектрисы, мы можем использовать теорему Пифагора. Давайте обозначим длину одной из биссектрис как \(x\). Тогда другая биссектриса будет равна \(40 - x\), так как сумма длин двух биссектрис должна быть равна гипотенузе треугольника.

Применяя теорему Пифагора, мы знаем, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае гипотенуза - это гипотенуза искомого треугольника, длина которой пока неизвестна. Поэтому мы можем записать уравнение:

\[x^2 + (40 - x)^2 = 30^2\]

раскрыв скобки, получим:

\[x^2 + 1600 - 80x + x^2 = 900\]

собираем все слагаемые и упрощаем:

\[2x^2 - 80x + 700 = 0\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 2\), \(b = -80\), и \(c = 700\).

Вычисляя значение подкоренного выражения, получим:

\[\sqrt{b^2 - 4ac} = \sqrt{(-80)^2 - 4(2)(700)} = \sqrt{6400 - 5600} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2}\]

Теперь, подставляя значения в квадратное уравнение, получим:

\[x = \frac{-(-80) \pm 20\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{80 \pm 20\sqrt{2}}{4} = 20 \pm 5\sqrt{2}\]

Таким образом, получаем два возможных значения для длины биссектрисы: \(x_1 = 20 + 5\sqrt{2}\) и \(x_2 = 20 - 5\sqrt{2}\).

Теперь, чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу:

\[Площадь = \frac{1}{2} \cdot \text{катет1} \cdot \text{катет2}\]

В нашем случае, первый катет это одна из биссектрис, а второй катет это другая биссектриса. Таким образом, площадь равна:

\[Площадь = \frac{1}{2} \cdot (x_1) \cdot (40 - x_1) = \frac{1}{2} \cdot (20 + 5\sqrt{2}) \cdot (40 - 20 - 5\sqrt{2}) = (10 + 2.5\sqrt{2})(20 - 2.5\sqrt{2})\]

Раскрыв скобки, получим:

\[Площадь = 200 + 10\sqrt{2} - 50\sqrt{2} - 5 \times 2 = 200 - 40\sqrt{2} - 10 = 190 - 40\sqrt{2}\]

Таким образом, площадь треугольника равна \(190 - 40\sqrt{2}\) квадратных сантиметров.