Які відношення площі двох правильних трикутників? Знайти периметр трикутника з меншою стороною, якщо велика сторона

Для розв"язання цієї задачі нам знадобиться знання про відношення площ прямокутних трикутників та формулу для обчислення периметра.

Правильний трикутник - це трикутник, у якого всі сторони мають однакову довжину, а всі кути усіх рівні.

Почнемо з розгляду відношення площі двох правильних трикутників. Площа прямокутного трикутника визначається за формулою \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\), де \(a\) - довжина основи, а \(h\) - висота.

Оскільки у правильних трикутників всі кути рівні, висота є серединою основи і може бути обчислена за формулою \(h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a\).

З кожними формулами на руках, ми можемо обрахувати площі обох трикутників. Припустимо, що сторони меншого трикутника мають довжину \(x\), а сторони більшого трикутника мають довжину \(2x\). Тоді ми маємо:

Площа меншого трикутника:
\[S_1 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot x^2\]

Площа більшого трикутника:
\[S_2 = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2x = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x^2 = \sqrt{3} \cdot x^2\]

Тепер, для знаходження периметра трикутника з меншою стороною, нам потрібно знайти довжину всіх його сторін.

В меншому трикутнику всі сторони мають однакову довжину \(x\), тому периметр можна обчислити як \(P = 3 \cdot x\).

Отже, відношення площі двох правильних трикутників є \(\frac{\sqrt{3}}{4} : \sqrt{3}\).

Периметр трикутника з меншою стороною дорівнює \(3x\), де \(x\) - довжина меншої сторони трикутника.