Які сторони прямокутника повинні бути, щоб забезпечити його найбільшу площу, якщо його вписати в прямокутний трикутник

Для решения этой задачи нам необходимо найти такие стороны прямоугольника, которые обеспечат его наибольшую площадь, когда он вписан в данный прямоугольный треугольник.

Давайте обозначим стороны прямоугольника как \(x\) и \(y\), где \(x\) - длина стороны, соответствующей катету треугольника, и \(y\) - длина стороны, соответствующей другому катету.

Мы знаем, что две вершины прямоугольника расположены на гипотенузе треугольника, а две другие вершины на катетах. Поэтому, для нахождения сторон прямоугольника, нам нужно использовать свойство подобных треугольников.

Давайте разберемся подробнее. В начале мы можем найти отношение между сторонами прямоугольника и сторонами треугольника. В данном случае это будет отношение \(x\) к гипотенузе треугольника \(16\,см\). Затем мы находим отношение между сторонами прямоугольника \(y\) и другим катетом треугольника.

С использованием теоремы Пифагора для треугольника, с катетом \(x\) и гипотенузой \(16\,см\), мы можем выразить \(y\) в терминах \(x\). Так как у нас имеется прямоугольник, катеты которого равны, сторона \(y\) будет равна \(y = x\).

Теперь у нас есть выражение для длины стороны прямоугольника в терминах \(x\): \(y = x\).

Чтобы выразить площадь прямоугольника через \(x\), у нас есть формула \(S = x \cdot y\). Подставляя \(y = x\) в эту формулу, получаем \(S = x \cdot x = x^2\).

Таким образом, площадь прямоугольника равна \(S = x^2\).

Теперь нам нужно найти максимальную площадь прямоугольника. Для этого мы можем использовать метод нахождения максимума функции. В данном случае наша функция - это \(S = x^2\).

Мы знаем, что максимум функции достигается в ее вершине, а также что функция \(S = x^2\) является параболой с положительным ветвлением вверх. То есть, максимальная площадь будет достигаться при \(x\), соответствующем вершине параболы.

Формула для нахождения координаты вершины параболы задана следующим образом: \(x = -\frac{b}{2a}\), где у нас уравнение \(y = ax^2 + bx + c\), но в нашем случае \(a = 1\), \(b = 0\) и \(c = 0\). Подставляя значения, получаем \(x = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0\).

Таким образом, мы получили, что \(x = 0\) является координатой вершины параболы, что означает, что максимальная площадь прямоугольника будет достигаться при \(x = 0\).

По условию задачи мы ищем положительные значения сторон прямоугольника, поэтому необходимо выбрать положительное значение \(x\). Таким образом, наибольшая площадь прямоугольника будет достигаться при \(x = 0\).

Однако, нужно отметить, что физически невозможно иметь прямоугольник с нулевыми сторонами, поэтому ответ на данную задачу не существует.

Вывод: не существует таких сторон прямоугольника, которые обеспечат его наибольшую площадь при условии вписывания в прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см и гострым углом 30 градусов.