Які сторони має прямокутник, що має діагональ довжиною 20 см і утворює з однією зі сторін кут 35 градусів?

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать теорему Пифагора и тригонометрию. Давайте посмотрим на решение пошагово.

Шаг 1: Представьте прямоугольник с его сторонами. Давайте обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$.

a
-----------------------------------
| |
| |
| |
b | |
| |
| |
| |
-----------------------------------

Шаг 2: Нам дана информация о диагонали и угле. Мы можем разделить прямоугольник на два прямоугольных треугольника, соответствующих каждой стороне диагонали.

a
-----------------------------------
| /
| /
| /
b | / d
| /
| /
| /
-----------------------------------

Шаг 3: Применяя теорему Пифагора к каждому из этих треугольников, можно записать следующие уравнения:

$$a^2+d^2={20}^2$$
$$b^2+d^2={20}^2$$

Шаг 4: Также нам известно, что угол между одной из сторон и диагональю составляет 35 градусов. Мы можем использовать это, чтобы найти отношение сторон, используя тригонометрию. В данном случае, мы знаем, что $\tan ({35}^{\circ })=\frac{b}{a}$. Мы можем использовать это уравнение для нахождения связи между $a$ и $b$.

Шаг 5: Теперь у нас есть два уравнения: $a^2+d^2={20}^2$ и $b^2+d^2={20}^2$, а также отношение между $a$ и $b$ из уравнения $\tan ({35}^{\circ })=\frac{b}{a}$. Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения $a$ и $b$.

Шаг 6: Решим уравнения:
$$a^2+d^2={20}^2\text{(1)}$$
$$b^2+d^2={20}^2\text{(2)}$$

Выразим $d^2$ из уравнения (1):
$$d^2={20}^2-a^2\text{(3)}$$

Подставим $d^2$ в уравнение (2):
$$b^2+({20}^2-a^2)={20}^2$$
$$b^2={20}^2-a^2$$

Подставим это в $\tan ({35}^{\circ })=\frac{b}{a}$:
$$\tan ({35}^{\circ })=\frac{\sqrt{{20}^2-a^2}}{a}$$

Теперь мы имеем одно уравнение с одной переменной $a$, которое можно решить.

Шаг 7: Решение этого уравнения даст нам значение $a$, а затем мы можем использовать это значение, чтобы вычислить $b$ с помощью уравнения $b^2={20}^2-a^2$.

Выполнив решение уравнений, мы получим значения сторон $a$ и $b$, итак, чтобы найти стороны прямоугольника, нам необходимо решить следующее уравнение:
$$\sin ({35}^{\circ })=\frac{b}{20}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$

- решив первое уравнение ($b=20\times \sin ({35}^{\circ })=20\times 0.5736=11.472$),
- решив второе уравнение ($a=20\times \cos ({35}^{\circ })=20\times 0.8192=16.384$).

Таким образом, стороны прямоугольника равны приближенно $\approx 16.384$ см и $\approx 11.472$ см.

Итак, стороны прямоугольника, у которого есть диагональ длиной 20 см и одна из сторон образует угол 35 градусов, равны примерно 16.384 см и 11.472 см соответственно.