Які розміри повної поверхні правильної чотирикутної піраміди, яка має висоту 12 см і апофему

Щоб знайти розміри повної поверхні правильної чотирикутної піраміди, нам знадобиться інформація про її висоту і апофему. Пригадаймо, що повна поверхня піраміди складається з основи і бічної поверхні.

Перш за все, нам потрібно знайти площу основи піраміди. У даній задачі ми не маємо прямих відомостей про основу піраміди, тому давайте припустимо, що її основа - квадрат. Змінна a буде позначати довжину сторони основи квадрата.

Для цього нам потрібно знайти довжину сторони основи квадрата. Для знаходження a приведемо до рівняння прямокутний трикутник, утворений половиною основи квадрата, висотою піраміди та апофемою. Використовуючи теорему Піфагора, одержимо:

\[a^2 = (\frac{1}{2}a)^2 + 12^2\]
\[a^2 = \frac{1}{4}a^2 + 144\]
\[\frac{3}{4}a^2 = 144\]
\[a^2 = \frac{144}{\frac{3}{4}}\]
\[a^2 = 192\]
\[a = \sqrt{192}\]

Тепер, коли ми знаходимо довжину сторони основи квадрата, ми можемо обчислити площу основи. Площа квадрата дорівнює довжині сторони в квадраті, тому:

\[S_\text{основи} = a^2\]

Тепер ми знаємо площу основи піраміди. Щоб знайти бічну поверхню, нам потрібно знайти периметр основи та довжину бічної грані піраміди. У правильній чотирикутної піраміди бічна грань є трикутником і є рівнобедреним трикутником, оскільки сторона основи має таку ж довжину, як і сторони бічних граней.

Периметр основи піраміди можна знайти за формулою:

\[P_\text{основи} = 4 \cdot a\]

Тепер нам потрібно знайти довжину бічної грані ​піраміди. Для цього можна використати теорему Піфагора, задавши прямокутний трикутник, утворений апофемою, половиною сторони основи і відрізком, який є висотою бічної грані:

\[a^2 = (\frac{1}{2}P_\text{основи})^2 + h_\text{бічної грані}^2\]
\[h_\text{бічної грані}^2 = a^2 - (\frac{1}{2}P_\text{основи})^2\]
\[h_\text{бічної грані} = \sqrt{a^2 - (\frac{1}{2}P_\text{основи})^2}\]

Тепер ви знайдете розмір бічної поверхні, ми можемо використати формулу для знаходження площі бічної поверхні, оскільки всі бічні площі граней піраміди є рівними:

\[S_\text{бічної поверхні} = \frac{1}{2}P_\text{основи} \cdot h_\text{бічної грані}\]

Тепер, коли ми знаємо площу основи і бічну поверхню, ми можемо обчислити повну поверхню правильної чотирикутної піраміди:

\[S_\text{повна} = S_\text{основи} + S_\text{бічної поверхні}\]

Розрахуємо значення:

\[S_\text{повна} = a^2 + \frac{1}{2}P_\text{основи} \cdot h_\text{бічної грані}\]
\[S_\text{повна} = (\sqrt{192})^2 + \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot \sqrt{192}) \cdot \sqrt{192 - (\frac{4 \cdot \sqrt{192}}{2})^2}\]

Отже, розміри повної поверхні правильної чотирикутної піраміди становлять значення \(S_\text{повна}\), яке ми отримаємо після обчислення вищезазначеного виразу. Не забудьте підставити значення виразів \(a\), \(P_\text{основи}\), \(h_\text{бічної грані}\) у формули.