Які розміри основи прямої призми, якщо її об єм дорівнює 48 см³ і основа - прямокутний трикутник з гіпотенузою 8

Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы для объема призмы и формулы для площади поверхности призмы.

Объем \(V\) прямоугольной призмы можно найти, умножив площадь основы \(S\) на высоту \(h\):

\[V = S \cdot h\]

Зная, что объем призмы равен 48 см³, мы можем записать:

\[48 = S \cdot h\]

Также, площадь поверхности \(P\) прямоугольной призмы можно найти, сложив площади всех ее граней. Для прямоугольной призмы формула примет вид:

\[P = 2S + 2l + 2w\]

где \(l\) и \(w\) - это длина и ширина боковой грани соответственно.

Для нашей задачи основа призмы представляет собой прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и углом 30°. По формулам тригонометрии, длина основы треугольника будет равна:

\[l = \frac{{8 \cdot \sin(30°)}}{2} = \frac{{8 \cdot 0.5}}{2} = 1\]

Теперь мы можем найти ширину \(w\). Чтобы это сделать, нам нужно найти длину второго катета прямоугольного треугольника. Используя формулу для поиска катета, \(a = c \cdot \sin(\alpha)\), где \(a\) - это катет, \(c\) - гипотенуза, а \(\alpha\) - угол между катетом и гипотенузой, мы можем записать:

\[w = 8 \cdot \sin(60°) = 4 \cdot \sqrt{3}\]

Теперь, когда у нас есть значения \(l\) и \(w\), зная, что площадь основы призмы равна площади прямоугольного треугольника, мы можем вычислить площадь основы \(S\) по формуле:

\[S = \frac{{l \cdot w}}{2}\]

Подставляя значения, получим:

\[S = \frac{{1 \cdot (4 \cdot \sqrt{3})}}{2}\]

\[S = 2 \cdot \sqrt{3}\]

Теперь мы можем найти высоту \(h\), разделив объем призмы \(V\) на площадь основы \(S\):

\[h = \frac{{V}}{{S}} = \frac{{48}}{{2 \cdot \sqrt{3}}}\]

Таким образом, мы получим высоту призмы.

И, наконец, чтобы найти площадь поверхности \(P\) призмы, мы можем использовать формулу:

\[P = 2S + 2l + 2w\]

\[P = 2 \cdot (2 \cdot \sqrt{3}) + 2 \cdot 1 + 2 \cdot (4 \cdot \sqrt{3})\]

\[P = 4\sqrt{3} + 2 + 8\sqrt{3}\]

\[P = 12\sqrt{3} + 2\]

Таким образом, размеры основы прямой призмы равны \(l = 1\) см, \(w = 4\sqrt{3}\) см, а площадь поверхности призмы равна \(P = 12\sqrt{3} + 2\) см².