Які кути чотирикутника, якщо три кути цього чотирикутника мають співвідношення 4, 5 і 7, а четвертий кут дорівнює

Для решения этой задачи нам необходимо найти меры всех углов четырехугольника, исходя из заданных условий, а затем проверить, является ли этот четырехугольник выпуклым.

Пусть первый угол имеет меру \(4x\), второй угол - \(5x\), третий угол - \(7x\). Также нам дано, что четвертый угол равен половине их суммы. Поэтому, мы можем записать следующее уравнение:

\[4x + 5x + 7x + \frac{1}{2}(4x + 5x + 7x) = 360^\circ\]

Решим это уравнение:

\[
\begin{align*}
4x + 5x + 7x + \frac{1}{2}(4x + 5x + 7x) &= 360^\circ \\
16x + \frac{1}{2}(16x) &= 360^\circ \\
16x + 8x &= 360^\circ \\
24x &= 360^\circ \\
x &= \frac{360^\circ}{24} \\
x &= 15^\circ
\end{align*}
\]

Теперь, чтобы найти меру каждого угла, мы можем подставить \(x = 15^\circ\):

1-й угол: \(4x = 4 \cdot 15^\circ = 60^\circ\),
2-й угол: \(5x = 5 \cdot 15^\circ = 75^\circ\),
3-й угол: \(7x = 7 \cdot 15^\circ = 105^\circ\),
4-й угол: \(\frac{1}{2}(4x + 5x + 7x) = \frac{1}{2}(60^\circ + 75^\circ + 105^\circ) = \frac{1}{2}(240^\circ) = 120^\circ\).

Таким образом, меры углов четырехугольника равны: 60°, 75°, 105° и 120°.

Чтобы узнать, является ли этот четырехугольник выпуклым или нет, нужно рассмотреть величины последовательных углов. Если во всех смежных углах их сумма равна 180°, то четырехугольник выпуклый. Проверим это:

Угол 1 + Угол 2 = 60° + 75° = 135°
Угол 2 + Угол 3 = 75° + 105° = 180°
Угол 3 + Угол 4 = 105° + 120° = 225°

Таким образом, сумма углов в четырехугольнике не равна 360°, что означает, что этот четырехугольник не является выпуклым.

Ответ: Меры углов четырехугольника равны 60°, 75°, 105° и 120°. Данный четырехугольник не является выпуклым.