Які координати мають вершини трикутника А(3;1;2), В(1;2;-1) і С(-2;2;1)? Треба довести, що трикутник АВС є прямокутним

Чтобы найти координаты вершин треугольника АВС, нам нужно знать координаты каждой вершины. В данной задаче у нас есть данные координаты вершин: А(3;1;2), В(1;2;-1) и С(-2;2;1).

Для доказательства того, что треугольник АВС является прямоугольным, нам необходимо проверить выполнение условия ортогональности между его сторонами. Для этого мы можем воспользоваться следующим свойством: векторное произведение двух векторов равно нулю, если и только если эти векторы ортогональны.

Теперь давайте найдем векторы сторон треугольника АВС:

Пусть вектор AB = B - A (конечная точка минус начальная точка)
= (1-3; 2-1; -1-2)
= (-2; 1; -3)

Вектор AC = C - A
= (-2-3; 2-1; 1-2)
= (-5; 1; -1)

Теперь найдем векторное произведение этих двух векторов:

AB x AC = (-2; 1; -3) x (-5; 1; -1)
= ((1 * -1) - (1 * -3); (-2 * -1) - (-2 * -3); (-2 * 1) - ((-2) * -5))
= (-1 + 3; 2 + 6; -2 + 10)
= (2; 8; 8)

Итак, векторное произведение AB x AC равно (2; 8; 8).

Теперь проверим, равно ли это векторное произведение нулю. Если оно равно нулю, то треугольник АВС будет прямоугольным. Проверим:

(2; 8; 8) ≠ (0; 0; 0)

Таким образом, треугольник АВС не является прямоугольным.

Теперь давайте найдем площадь треугольника АВС. Для этого воспользуемся формулой Герона:

Пусть стороны треугольника равны a, b и c, а полупериметр - p.

Сначала найдем длины сторон треугольника:

AB = √((-2)^2 + 1^2 + (-3)^2) = √4 + 1 + 9 = √14

AC = √((-5)^2 + 1^2 + (-1)^2) = √25 + 1 + 1 = √27

BC = √((1 - (-2))^2 + (2 - 2)^2 + ((-1) - 1)^2) = √3^2 + 0^2 + (-2)^2 = √13

Теперь найдем полупериметр:

p = (AB + AC + BC)/2 = (√14 + √27 + √13)/2

Наконец, найдем площадь треугольника по формуле Герона:

S = √(p(p-AB)(p-AC)(p-BC))

= √((√14 + √27 + √13)/2 * (√14 + √27 + √13)/2 - √14 * (√14 + √27 + √13)/2 - √27 * (√14 + √27 + √13)/2 - √13 * (√14 + √27 + √13)/2)

= √(((√14 + √27 + √13)^2 - √14 * (√14 + √27 + √13) - √27 * (√14 + √27 + √13) - √13 * (√14 + √27 + √13))/4)

Теперь можем подсчитать значение этого выражения и получить площадь треугольника АВС. Введите формулу в ваши вычислительные инструменты или калькулятор, чтобы найти ответ.