Яке значення кута А трикутника АВС, якщо координати точок А, В і С дорівнюють відповідно (2;-2;-3), (4;-2;-1

Чтобы найти значение угла А треугольника ABC, нам понадобится использовать свойства векторного произведения двух векторов.

Давайте обозначим вектор АВ как \(\vec{AB}\) и вектор АС как \(\vec{AC}\). По определению, векторное произведение двух векторов можно найти по следующей формуле:

\(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{bmatrix} i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{bmatrix}\)

где \(i, j, k\) - единичные векторы вдоль координатных осей, а \(x_1, y_1, z_1\) и \(x_2, y_2, z_2\) - координаты векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) соответственно.

Теперь, давайте запишем координаты векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\):

\(\vec{AB} = (4-2, -2-(-2), -1-(-3)) = (2, 0, 2)\)
\(\vec{AC} = (2-2, -2-(-2), 3-(-3)) = (0, 0, 6)\)

Подставим координаты в формулу для векторного произведения:

\(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{bmatrix} i & j & k \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix} = (0 - 0)i - (12 - 0)j + (0 - 0)k = -12j\)

Теперь, чтобы найти значение угла А, нам необходимо найти угол между вектором \(\vec{AB}\) и векторным произведением \(\vec{AB} \times \vec{AC}\).

Формула для нахождения угла между векторами в трехмерном пространстве:

\(\cos(\theta) = \frac{{\vec{AB} \cdot (\vec{AB} \times \vec{AC})}}{{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AB} \times \vec{AC}|}}\)

где \(\vec{AB} \cdot (\vec{AB} \times \vec{AC})\) - скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AB} \times \vec{AC}\), а \(|\vec{AB}|\) и \(|\vec{AB} \times \vec{AC}|\) - длины векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AB} \times \vec{AC}\) соответственно.

Теперь, давайте найдем значения этих величин. Длина вектора можно найти по формуле:

\(|\vec{AB}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)

Выполняя несколько вычислений, получим:

\(|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)

Теперь найдем длину вектора \(\vec{AB} \times \vec{AC}\):

\(|\vec{AB} \times \vec{AC}| = |(-12j)| = 12\)

Наконец, найдем скалярное произведение \(\vec{AB} \cdot (\vec{AB} \times \vec{AC})\):

\(\vec{AB} \cdot (\vec{AB} \times \vec{AC}) = (2, 0, 2) \cdot (0, -12, 0) = 0 + 0 + 0 = 0\)

Теперь подставим все значения в формулу для нахождения угла:

\(\cos(\theta) = \frac{{\vec{AB} \cdot (\vec{AB} \times \vec{AC})}}{{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AB} \times \vec{AC}|}} = \frac{{0}}{{2\sqrt{2} \cdot 12}} = 0\)

Так как \(\cos(\theta) = 0\), а косинус угла равен нулю, то получаем, что угол А равен 90 градусов или \(\frac{\pi}{2}\) радиан.

Таким образом, значение угла А треугольника ABC равно 90 градусов или \(\frac{\pi}{2}\) радиан.