Яке з наведених тверджень є правильним щодо точок М(-1 4 3), N(-2 5 -2), K(3 -4 6) та P(2 -3 1): MN=PK, MN=-2PK

Для решения этой задачи, нам необходимо определить, какое из утверждений о точках M, N, K и P является правильным относительно отношений "равноудаленности" между ними.

Отношение равноудаленности между двумя точками означает, что расстояние между первой точкой и некоторой другой точкой равно расстоянию между второй точкой и той же другой точкой.

Таким образом, для определения, какое из утверждений является правильным, мы должны вычислить расстояния между соответствующими парами точек и сравнить их значения.

По формуле расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

где (x1, y1, z1) - координаты первой точки, а (x2, y2, z2) - координаты второй точки.

Теперь, давайте проверим каждое утверждение по очереди.

Утверждение: MN = PK (расстояние между М и N равно расстоянию между Р и К).

Расстояние MN:
\[
\begin{align*}
MN &= \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (5 - 4)^2 + (-2 - 3)^2} \\
&= \sqrt{1^2 + 1^2 + 5^2} \\
&= \sqrt{1 + 1 + 25} \\
&= \sqrt{27}
\end{align*}
\]

Расстояние PK:
\[
\begin{align*}
PK &= \sqrt{(2 - 3)^2 + (-3 - (-4))^2 + (1 - 6)^2} \\
&= \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-5)^2} \\
&= \sqrt{1 + 1 + 25} \\
&= \sqrt{27}
\end{align*}
\]

Таким образом, MN = PK, и утверждение MN = PK является правильным.

Продолжим с другими утверждениями.

Утверждение: MN = -2PK

Расстояние MN:
\[
\begin{align*}
MN &= \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (5 - 4)^2 + (-2 - 3)^2} \\
&= \sqrt{1^2 + 1^2 + 5^2} \\
&= \sqrt{1 + 1 + 25} \\
&= \sqrt{27}
\end{align*}
\]

Расстояние -2PK:
\[
\begin{align*}
-2PK &= -2 \sqrt{(2 - 3)^2 + (-3 - (-4))^2 + (1 - 6)^2} \\
&= -2 \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-5)^2} \\
&= -2 \sqrt{1 + 1 + 25} \\
&= -2 \sqrt{27} \\
\end{align*}
\]

Расстояние MN не равно -2PK, следовательно, это утверждение неверно.

Утверждение: MN = 1/2PK

Расстояние MN:
\[
\begin{align*}
MN &= \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (5 - 4)^2 + (-2 - 3)^2} \\
&= \sqrt{1^2 + 1^2 + 5^2} \\
&= \sqrt{1 + 1 + 25} \\
&= \sqrt{27}
\end{align*}
\]

Расстояние 1/2PK:
\[
\begin{align*}
\frac{1}{2}PK &= \frac{1}{2} \sqrt{(2 - 3)^2 + (-3 - (-4))^2 + (1 - 6)^2} \\
&= \frac{1}{2} \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-5)^2} \\
&= \frac{1}{2} \sqrt{1 + 1 + 25} \\
&= \frac{1}{2} \sqrt{27} \\
\end{align*}
\]

Расстояние MN не равно 1/2PK, поэтому это утверждение также неверно.

Осталось последнее утверждение:

Утверждение: MN = KP

Расстояние MN:
\[
\begin{align*}
MN &= \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (5 - 4)^2 + (-2 - 3)^2} \\
&= \sqrt{1^2 + 1^2 + 5^2} \\
&= \sqrt{1 + 1 + 25} \\
&= \sqrt{27}
\end{align*}
\]

Расстояние KP:
\[
\begin{align*}
KP &= \sqrt{(3 - 2)^2 + (-4 - (-3))^2 + (6 - 1)^2} \\
&= \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 5^2} \\
&= \sqrt{1 + 1 + 25} \\
&= \sqrt{27}
\end{align*}
\]

Таким образом, MN = KP, и это утверждение также является правильным.

Итак, правильные утверждения относительно точек М, N, К и Р:
1. MN = PK
2. MN = KP