Яка є висота твірного конуса, якщо його діаметр становить 16√3 см, а він нахиляється до площини основи під кутом 60°?

Чтобы найти высоту усеченного конуса, нам необходимо использовать связь между высотой и радиусами основы и топа. Здесь мы знаем диаметр основания. Давайте сначала найдем радиусы основы и верхней части конуса.

Диаметр основания составляет 16√3 см, что означает, что радиус основания \( r \) будет равен половине диаметра, т.е. \( r = \frac{16\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \) см.

Мы также видим, что конус наклонен к основанию под углом 60°. Это означает, что верхняя часть конуса (топ) образует правильный треугольник с основанием и высотой. Таким образом, одна сторона треугольника равна радиусу основания \( r \) и другая сторона равна радиусу верхней части конуса (топу).

Чтобы найти радиус верхней части конуса, мы можем использовать связь между углом наклона и отношением высоты к радиусу, которое составляет \(\sqrt{3}\) для треугольника с углом 60°.

Таким образом, радиус верхней части конуса \( R \) равен \(\sqrt{3} r\), то есть

\[ R = \sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3} = 24 \] см.

Теперь, чтобы найти высоту усеченного конуса, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника с основанием, радиусом основания \( r \), и радиусом верхней части \( R \). Высота \( h \) будет третьей стороной треугольника.

По теореме Пифагора получаем:

\[ h^2 = R^2 - r^2 = 24^2 - (8\sqrt{3})^2 \]
\[ h^2 = 576 - 192 = 384 \]

Чтобы найти значение \( h \), нам нужно извлечь квадратный корень из 384:

\[ h = \sqrt{384} = 16\sqrt{6} \]

Таким образом, высота усеченного конуса составляет \( 16\sqrt{6} \) см.

Обратите внимание, что в данной задаче использована тригонометрия для нахождения радиуса верхней части конуса \( R \), поэтому решение включает вычисление квадратных корней. Это важно учесть при объяснении решения студенту.