Яка висота правильної трикутної піраміди, якщо двогранний кут при основі дорівнює 45°? І скільки становить об єм цієї

Давайте рассмотрим задачу о высоте и объеме правильной треугольной пирамиды с двугранным углом в основании, равным 45°.

Для начала, рассмотрим треугольник, образованный основанием пирамиды и одной из ее боковых сторон. Этот треугольник является равнобедренным со сторонами a, a и b, где a - это сторона основания пирамиды, а b - высота треугольника.

Так как угол при основании равен 45°, то у нас есть правильный треугольник со сторонами a, a и a.
А также, давайте обозначим высоту пирамиды, как h.

Таким образом, мы можем применить теорему Пифагора к нашему равнобедренному треугольнику:

\[b^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2\]

Зная, что сторона основания пирамиды равна a, мы можем рассчитать ее значение:

\[a = \frac{h\sqrt{2}}{2}\]

Подставим это значение в уравнение для b:

\[b^2 = \left(\frac{h\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{h\sqrt{2}}{4}\right)^2\]

Упростим выражение:

\[b^2 = \frac{2h^2}{4} - \frac{h^2}{4}\]
\[b^2 = \frac{h^2}{2}\]

Чтобы найти высоту b, найдем квадратный корень из обеих сторон:

\[b = \frac{\sqrt{h^2}}{\sqrt{2}}\]
\[b = \frac{h}{\sqrt{2}}\]
\[b = h \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Теперь, чтобы найти объем пирамиды, мы можем использовать формулу:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h\]

Где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания пирамиды, а h - высота пирамиды. В нашем случае, основание пирамиды - это правильный треугольник, поэтому:

\[S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\]

Подставим значение a:

\[V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(\frac{h\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot h\]

Упростим выражение:

\[V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{h^3 \cdot 2}{4}\]
\[V = \frac{\sqrt{3}}{24} \cdot \frac{h^3}{2}\]
\[V = \frac{\sqrt{3}}{48} \cdot h^3\]

Итак, мы нашли высоту треугольной пирамиды:

\[b = h \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

И объем этой пирамиды:

\[V = \frac{\sqrt{3}}{48} \cdot h^3\]

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как найти высоту и объем правильной треугольной пирамиды с двугранным углом в основании, равным 45°.