Яка висота конуса, якщо радіус його основи дорівнює 12, а кут при вершині осьового перетину становить 120°?

Чтобы найти высоту конуса, нам понадобится использовать теорему косинусов на основе данного угла при вершине осевого сечения и радиуса основания.

Пусть \(h\) - искомая высота конуса, а \(r\) - радиус его основания. Также, известно, что угол при вершине осевого перетину составляет 120°.

Теорема косинусов гласит:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]
где:
\(c\) - длина стороны противолежащей углу \(C\),
\(a\) и \(b\) - длины двух сторон, образующих угол.

В нашем случае:
\(c = h\) (высота конуса),
\(a = r\) (радиус основания),
\(b = r\) (так как основание конуса - круг, у которого радиус одинаков для всех сторон).

Подставляем значения в формулу:
\[h^2 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos(120°)\]

Перейдем к дальнейшим вычислениям:
\[h^2 = 2r^2 + 2r^2 \cdot \cos(120°)\]

Следует рассмотреть значение \(\cos(120°)\). Мы знаем, что \(\cos(120°) = -0.5\), так как этот угол является смежным углом с углом синуса \(\sin(30°)\), равным 0.5, а значит, \(\cos(120°) = -\sin(30°) = -0.5\).

Подставим значение в формулу для \(h^2\):
\[h^2 = 2r^2 + 2r^2 \cdot (-0.5)\]

Упростим выражение:
\[h^2 = 2r^2 - r^2\]
\[h^2 = r^2\]

Теперь найдем значение \(h\) путем извлечения квадратного корня:
\[h = \sqrt{r^2}\]
\[h = r\]

Таким образом, высота конуса равна радиусу его основания, то есть \(h = r = 12\).