Яка відстань від вершини прямого кута до площини, що проходить через гіпотенузу й утворює з площиною трикутника

8 м?

Для решения этой задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора и геометрические свойства прямых и плоскостей.

Дано, что катеты прямоугольного треугольника равны 7 м. По теореме Пифагора мы можем найти длину гипотенузы:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2}\]

где \(c\) - длина гипотенузы, \(a\) и \(b\) - длины катетов. Подставляя значения, получаем:

\[c = \sqrt{7^2 + 7^2} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}\]

Теперь нам нужно найти расстояние от вершины прямого угла до плоскости, проходящей через гипотенузу и образующей с плоскостью треугольника угол 30 градусов.

Чтобы найти это расстояние, мы можем построить перпендикуляр из вершины прямого угла к плоскости треугольника. Этот перпендикуляр будет являться высотой треугольника.

Так как перпендикуляр проведён из вершины прямого угла, он будет являться высотой остроугольного треугольника.

Обозначим расстояние, которое мы ищем, как \(h\).

Используем свойство треугольника: высота остроугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит его на две подобные части, где отношение сторон треугольников равно отношению их высот:

\[\frac{h}{c} = \frac{a}{\text{длина острой стороны треугольника}}\]

Острая сторона треугольника имеет длину \(7\sqrt{2}\), поэтому:

\[\frac{h}{7\sqrt{2}} = \frac{7}{\text{длина острой стороны треугольника}}\]

Мы знаем, что угол между плоскостью, проходящей через гипотенузу, и плоскостью треугольника равен 30 градусам. Это означает, что острым углом остроугольного греугольника будет 60 градусов, так как сумма углов треугольника равна 180 градусов. Таким образом, длина острой стороны треугольника равна:

\[\text{длина острой стороны треугольника} = 2 \times \text{радиус вписанной окружности} = 2 \times \frac{\text{длина гипотенузы}}{\sqrt{3}}\]

Подставляем значение длины гипотенузы:

\[\text{длина острой стороны треугольника} = 2 \times \frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{6}}{3}\]

Теперь мы можем решить уравнение для \(h\):

\[\frac{h}{7\sqrt{2}} = \frac{7}{\frac{14\sqrt{6}}{3}}\]

Домножаем обе части уравнения на \(7\sqrt{2}\), чтобы избавиться от дробей:

\[h = \frac{7 \times 7\sqrt{2}}{\frac{14\sqrt{6}}{3}} = \frac{49\sqrt{2}}{\frac{14\sqrt{6}}{3}} = \frac{49\sqrt{2} \times 3}{14\sqrt{6}} = \frac{147\sqrt{2}}{14\sqrt{6}}\]

Делаем упрощение выражения, домножая числитель и знаменатель на \(\sqrt{6}\):

\[h = \frac{147\sqrt{2}\sqrt{6}}{14\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{147\sqrt{12}}{14 \times 6} = \frac{147 \times 2}{14 \times 6} = \frac{294}{84} = \frac{7}{2}\]

Таким образом, расстояние от вершины прямого угла до плоскости, проходящей через гипотенузу и образующей с плоскостью треугольника угол 30 градусов, равно \(\frac{7}{2}\) метра.