Яка відстань між точками дотику двох кол з однаковим радіусом 4 см та 9 см, коли вони мають зовнішній дотик?

Для решения данной задачи нам понадобится использовать основные свойства касательной и окружностей.

Для начала, давайте представим себе ситуацию, о которой идет речь в задаче. У нас есть две окружности: одна с радиусом 4 см, а другая с радиусом 9 см. Они имеют общую внешнюю точку касания.

Используя свойство касательной, мы знаем, что линия, проведенная из точки дотику до центра окружности, будет перпендикулярна касательной. Кроме того, поскольку точка дотику для наших окружностей является общей, линия, соединяющая центры окружностей, будет проходить через эту точку.

Теперь мы можем нарисовать диаметр каждой окружности, проходящий через ее центр. Давайте обозначим эти диаметры как \(AC\) и \(BD\) для окружности радиусом 4 см и 9 см соответственно. Здесь \(A\) и \(B\) - центры окружностей.

Поскольку мы знаем, что линия, соединяющая центры окружностей, будет проходить через точку дотику, давайте обозначим эту точку как \(E\). Теперь у нас есть треугольник \(EAB\), в котором сторона \(EA\) равна сумме радиусов окружностей, то есть 4 см + 9 см = 13 см, а стороны \(EB\) и \(AB\) - радиусы окружностей, соответственно 4 см и 9 см.

Обратимся теперь к теореме Пифагора для нашего треугольника \(EAB\). Она гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае гипотенузой является сторона \(EA\), а катетами - стороны \(EB\) и \(AB\).

Применяя теорему Пифагора, мы получаем:

\[EA^2 = EB^2 + AB^2\]
\[13^2 = 4^2 + 9^2\]
\[169 = 16 + 81\]
\[169 = 97\]

К сожалению, полученное равенство неверно, что означает, что у нас есть ошибочное предположение о треугольнике \(EAB\) - он не является прямоугольным.

Следовательно, мы должны переместиться к следующему шагу. Мы знаем, что если окружности соприкасаются внешним образом, то линия, соединяющая центры окружностей, будет образовывать прямую, проходящую через точку дотику. Таким образом, это означает, что линии \(AC\) и \(BD\) будут параллельны.

Теперь давайте рассмотрим треугольник \(ABE\). У нас есть две параллельные прямые - линии \(AC\) и \(BD\), и третья сторона \(AB\) является отрезком между центрами окружностей. Это означает, что треугольник \(ABE\) является треугольником с параллельными сторонами.

Из теоремы о треугольниках с параллельными сторонами мы знаем, что отрезки, проведенные из вершин треугольника параллельно одной стороне, делят противоположную сторону пропорционально. Это означает, что отрезок \(AE\) будет делить отрезок \(AB\) в пропорции радиусов окружностей.

Таким образом, мы можем применить пропорцию:

\(\frac{AE}{AB} = \frac{AC}{AD}\)

Поскольку диаметры окружностей (\(AC\) и \(BD\)) равны радиусам (\(AB\)), пропорция может быть переписана следующим образом:

\(\frac{AE}{AB} = \frac{r_1}{r_2}\)

Где \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы окружностей.

В нашем случае, \(r_1 = 4\) см и \(r_2 = 9\) см, поэтому пропорция примет вид:

\(\frac{AE}{AB} = \frac{4}{9}\)

Мы можем переписать эту пропорцию следующим образом:

\(AE = \frac{4}{9} \cdot AB\)

Теперь мы можем решить этот уравнение следующим образом:

\(AE = \frac{4}{9} \cdot AB\)
\(AE = \frac{4}{9} \cdot 13\)

Посчитав это выражение, получим:

\(AE \approx 5.78\) см

Таким образом, расстояние между точками дотика двух окружностей равно приблизительно 5.78 см.