Яка відстань між основами перпендикулярів, опущених з кінців відрізка на лінію перетину площин, якщо довжина цього

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. У нас есть отрезок, перпендикуляры опущены из его концов на плоскость пересечения, и есть углы между отрезком и плоскостями.

1. Давайте назовем основы перпендикуляров \(A\) и \(B\).

2. Известно, что длина отрезка составляет 10 см. Обозначим это как \(\overline{AB} = 10\) см.

3. Давайте предположим, что \(C\) - точка пересечения плоскостей. Тогда получим треугольник \(ABC\).

4. Обратите внимание, что треугольник \(ABC\) является прямоугольным, потому что перпендикуляры опущены из концов отрезка.

5. Итак, у нас есть прямоугольный треугольник \(ABC\), в котором угол между гипотенузой \(\overline{AB}\) и одним из катетов равен 45°, а между гипотенузой и другим катетом - 30°.

6. Давайте вычислим длину каждого катета. Поскольку мы знаем угол и гипотенузу, мы можем использовать тригонометрическую функцию косинуса.

7. Для первого катета \(AC\) с углом 45° и гипотенузой 10 см, мы можем использовать формулу \(\cos(45^\circ) = \frac{{AC}}{{AB}}\).

8. Таким образом, \(AC = \cos(45^\circ) \cdot AB\).

9. Для второго катета \(BC\) с углом 30° и гипотенузой 10 см, мы можем использовать формулу \(\cos(30^\circ) = \frac{{BC}}{{AB}}\).

10. Таким образом, \(BC = \cos(30^\circ) \cdot AB\).

11. Подставив значения \(\cos(45^\circ) \approx 0.707\) и \(\cos(30^\circ) \approx 0.866\), можем вычислить длины катетов:

\(AC \approx 0.707 \cdot 10\) см,

\(BC \approx 0.866 \cdot 10\) см.

12. Таким образом, \(AC \approx 7.07\) см и \(BC \approx 8.66\) см.

13. Наконец, для нахождения расстояния между основами перпендикуляров, мы можем использовать теорему Пифагора, так как треугольник \(ABC\) прямоугольный.

14. Теорема Пифагора гласит, что сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

15. Таким образом, расстояние между основами перпендикуляров \(d\) равно \(\sqrt{{AC^2 + BC^2}}\).

16. Подставляя значения, получим \(d \approx \sqrt{{7.07^2 + 8.66^2}}\) см.

17. Вычислив эту формулу, округлим ответ до двух десятичных знаков.

Итак, окончательный ответ: расстояние между основами перпендикуляров, опущенных с концов отрезка на плоскость пересечения, составляет примерно \(\approx 11.48\) см.