Яка швидкість має людина відносно землі у момент стрибка, якщо вона стрибнула з платформи під кутом 30° до напрямку

З визначенням і використанням закону збереження кінетичної енергії ми можемо вирішити цю задачу.

Коли людина стрибає з платформи, її швидкість складається з двох компонентів: горизонтальної і вертикальної. Ми зацікавлені в горизонтальній компоненті швидкості, оскільки нам потрібно знати швидкість відносно землі.

За даними, швидкість платформи зменшилася з 5 м/с до 4 м/с. За законом збереження кінетичної енергії, зміна кінетичної енергії системи дорівнює роботі зовнішніх сил. У цьому випадку, зовнішньою силою є сила опору повітря, яка зменшилася зміною швидкості платформи.

$$\mathrm{\Delta }KE=W_{\text{зовніш}}$$

Кінетична енергія $KE$ дорівнює половині маси тіла помноженої на квадрат його швидкості:

$$KE=\frac{1}{2}m{v}^2$$

Записавши зміну кінетичної енергії:

$$\frac{1}{2}m{v}_{\text{кінц}}^2-\frac{1}{2}m{v}_{\text{поч}}^2=W_{\text{зовніш}}$$

При стрибку, вертикальний компонент швидкості не змінюється, оскільки він відповідає прискоренню вільного падіння. Тому $v_{\text{поч}}=0$ і $v_{\text{кінц}}$ - це горизонтальна компонента швидкості, яку ми шукаємо.

Тепер ми можемо записати рівняння:

$$\frac{1}{2}m{v}_{\text{кінц}}^2-\frac{1}{2}m\cdot 0^2=W_{\text{зовніш}}$$

За даними, маса людини в три рази менше за масу платформи, тому ми можемо переписати рівняння, використовуючи цей відношення:

$$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}{m}_{\text{платф}}\right)v_{\text{кінц}}^2-\frac{1}{2}{m}_{\text{платф}}\cdot 0^2=W_{\text{зовніш}}$$

$$\frac{1}{6}{m}_{\text{платф}}{v}_{\text{кінц}}^2=W_{\text{зовніш}}$$

Враховуючи, що зовнішня сила - зменшення швидкості платформи, ми можемо записати це як:

$$\frac{1}{6}{m}_{\text{платф}}{v}_{\text{кінц}}^2=F\cdot d$$

де $F$ - зовнішня сила (сила опору повітря), а $d$ - шлях, на який діє ця сила. Так як ми нічого не знаємо про саму силу, ми використовуємо зміну швидкості, що дорівнює 1 м/с, і шлях від равлика до людини, оскільки це єдине, що нам відомо.

$$\frac{1}{6}{m}_{\text{платф}}{v}_{\text{кінц}}^2=1\cdot d$$

Враховуючи вказані умови задачі, яка описує кут, під яким вона стрибнула, ми можемо скласти схему стрибка і використати відношення трикутників, щоб знайти $d$.

$$\frac{d}{\sin ({30}^{\circ })}=\frac{h}{\sin ({90}^{\circ })}$$

$$d=h\cdot \frac{\sin ({30}^{\circ })}{\sin ({90}^{\circ })}$$

Так як нам не відома висота, ми можемо використовувати будь-яку значущу висоту. Припустимо, що висота рівна 1 метру:

$$d=1\cdot \frac{\sin ({30}^{\circ })}{\sin ({90}^{\circ })}=\frac{1}{2}$$

Підставимо це значення в попереднє рівняння:

$$\frac{1}{6}{m}_{\text{платф}}{v}_{\text{кінц}}^2=1\cdot \frac{1}{2}$$

Знаходячи вираз відносно $v_{\text{кінц}}$:

$$v_{\text{кінц}}^2=\frac{6}{m_{\text{платф}}}\cdot \frac{1}{2}$$

$$v_{\text{кінц}}^2=\frac{3}{m_{\text{платф}}}$$

Остаточно, беручи квадратний корінь з обох боків, отримуємо:

$$v_{\text{кінц}}=\sqrt{\frac{3}{m_{\text{платф}}}}$$

Ми знаємо, що маса людини в три рази менше за масу платформи, тому:

$$v_{\text{кінц}}=\sqrt{\frac{3}{3m_{\text{люд}}}}=\sqrt{\frac{1}{m_{\text{люд}}}}$$

Отже, швидкість людини відносно землі у момент стрибка складає:

$$v_{\text{кінц}}=\sqrt{\frac{1}{m_{\text{люд}}}}$$