Яка швидкість має людина відносно землі у момент стрибка, якщо вона стрибнула з платформи під кутом 30° до напрямку

З визначенням і використанням закону збереження кінетичної енергії ми можемо вирішити цю задачу.

Коли людина стрибає з платформи, її швидкість складається з двох компонентів: горизонтальної і вертикальної. Ми зацікавлені в горизонтальній компоненті швидкості, оскільки нам потрібно знати швидкість відносно землі.

За даними, швидкість платформи зменшилася з 5 м/с до 4 м/с. За законом збереження кінетичної енергії, зміна кінетичної енергії системи дорівнює роботі зовнішніх сил. У цьому випадку, зовнішньою силою є сила опору повітря, яка зменшилася зміною швидкості платформи.

\[ \Delta KE = W_{\text{зовніш}} \]

Кінетична енергія \( KE \) дорівнює половині маси тіла помноженої на квадрат його швидкості:

\[ KE = \frac{1}{2} m v^2 \]

Записавши зміну кінетичної енергії:

\[ \frac{1}{2} m v_{\text{кінц}}^2 - \frac{1}{2} m v_{\text{поч}}^2 = W_{\text{зовніш}} \]

При стрибку, вертикальний компонент швидкості не змінюється, оскільки він відповідає прискоренню вільного падіння. Тому \( v_{\text{поч}} = 0 \) і \( v_{\text{кінц}} \) - це горизонтальна компонента швидкості, яку ми шукаємо.

Тепер ми можемо записати рівняння:

\[ \frac{1}{2} m v_{\text{кінц}}^2 - \frac{1}{2} m \cdot 0^2 = W_{\text{зовніш}} \]

За даними, маса людини в три рази менше за масу платформи, тому ми можемо переписати рівняння, використовуючи цей відношення:

\[ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} m_{\text{платф}} \right) v_{\text{кінц}}^2 - \frac{1}{2} m_{\text{платф}} \cdot 0^2 = W_{\text{зовніш}} \]

\[ \frac{1}{6} m_{\text{платф}} v_{\text{кінц}}^2 = W_{\text{зовніш}} \]

Враховуючи, що зовнішня сила - зменшення швидкості платформи, ми можемо записати це як:

\[ \frac{1}{6} m_{\text{платф}} v_{\text{кінц}}^2 = F \cdot d \]

де \( F \) - зовнішня сила (сила опору повітря), а \( d \) - шлях, на який діє ця сила. Так як ми нічого не знаємо про саму силу, ми використовуємо зміну швидкості, що дорівнює 1 м/с, і шлях від равлика до людини, оскільки це єдине, що нам відомо.

\[ \frac{1}{6} m_{\text{платф}} v_{\text{кінц}}^2 = 1 \cdot d \]

Враховуючи вказані умови задачі, яка описує кут, під яким вона стрибнула, ми можемо скласти схему стрибка і використати відношення трикутників, щоб знайти \( d \).

\[ \frac{d}{\sin(30^\circ)} = \frac{h}{\sin(90^\circ)} \]

\[ d = h \cdot \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(90^\circ)} \]

Так як нам не відома висота, ми можемо використовувати будь-яку значущу висоту. Припустимо, що висота рівна 1 метру:

\[ d = 1 \cdot \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(90^\circ)} = \frac{1}{2} \]

Підставимо це значення в попереднє рівняння:

\[ \frac{1}{6} m_{\text{платф}} v_{\text{кінц}}^2 = 1 \cdot \frac{1}{2} \]

Знаходячи вираз відносно \( v_{\text{кінц}} \):

\[ v_{\text{кінц}}^2 = \frac{6}{m_{\text{платф}}} \cdot \frac{1}{2} \]

\[ v_{\text{кінц}}^2 = \frac{3}{m_{\text{платф}}} \]

Остаточно, беручи квадратний корінь з обох боків, отримуємо:

\[ v_{\text{кінц}} = \sqrt{\frac{3}{m_{\text{платф}}}} \]

Ми знаємо, що маса людини в три рази менше за масу платформи, тому:

\[ v_{\text{кінц}} = \sqrt{\frac{3}{3m_{\text{люд}}}} = \sqrt{\frac{1}{m_{\text{люд}}}} \]

Отже, швидкість людини відносно землі у момент стрибка складає:

\[ v_{\text{кінц}} = \sqrt{\frac{1}{m_{\text{люд}}}} \]