Яка робота потрібна для збільшення кутової швидкості обертання кулі вдвічі, якщо мідна куля радіусом R

Для решения данной задачи нам понадобятся некоторые физические законы. Когда куля вращается, ее масса сохраняется, а момент инерции зависит от распределения массы.

Момент инерции \(I\) кули можно найти, используя формулу
\[I = \frac{2}{5} m R^2\]
где \(m\) - масса кули, \(R\) - радиус кули.

У нас уже есть радиус кули \(R = 10\) см.

Теперь нам нужно найти массу кули. Для этого мы можем воспользоваться формулой плотности:
\[\rho = \frac{m}{V}\]
где \(\rho\) - плотность меди, \(m\) - масса кули, \(V\) - объем кули.

Мы знаем, что медь имеет плотность приблизительно равную \(8.96 \, г/см^3\). Также мы можем использовать формулу для объема кули, чтобы найти \(V\):
\[V = \frac{4}{3} \pi R^3\]

Подставим значение \(R = 10\) см в формулу для \(V\):
\[V = \frac{4}{3} \pi (10 \, см)^3\]

Теперь мы можем найти массу кули, просто умножив плотность на объем:
\[m = \rho \cdot V\]

Найденную массу \(m\) мы можем использовать в формуле момента инерции, чтобы найти изначальное значение \(I\).

А теперь, чтобы увеличить кутовую скорость вдвое, нам нужно использовать закон сохранения момента инерции:
\[I_1 \cdot \omega_1 = I_2 \cdot \omega_2\]

Где \(I_1\) и \(I_2\) - изначальный и конечный моменты инерции, \(\omega_1\) и \(\omega_2\) - изначальная и конечная угловые скорости.

Так как мы хотим увеличить кутовую скорость вдвое, \(\omega_2 = 2 \cdot \omega_1\).

Мы можем подставить значения \(I_1\), \(I_2\) и \(\omega_2\) в уравнение и найти \(\omega_1\):
\(I_1 \cdot \omega_1 = I_2 \cdot \omega_2\)

После нахождения \(\omega_1\) мы можем использовать его для нахождения частоты вращения \(n_1\), с которой куля изначально вращалась:
\(\omega_1 = 2 \pi n_1\)

Мы можем подставить найденное значение \(\omega_1\), чтобы найти \(n_1\):
\(2 \pi n_1 = \omega_1\)

Таким образом, шаги для решения задачи:
1. Найти объем кули, используя формулу \(V = \frac{4}{3} \pi R^3\).
2. Найти массу кули, используя формулу \(m = \rho \cdot V\) и плотность меди \(\rho = 8.96 \, г/см^3\).
3. Найти момент инерции кули, используя формулу \(I = \frac{2}{5} m R^2\).
4. Подставить изначальный и конечный моменты инерции, а также конечную угловую скорость в уравнение сохранения момента инерции и найти изначальную угловую скорость \(\omega_1\).
5. Найти изначальную частоту вращения \(n_1\), используя формулу \(\omega_1 = 2 \pi n_1\).

Таким образом, после выполнения всех этих шагов мы сможем найти необходимую работу для удвоения угловой скорости вращения кули.