Яка різниця між довжиною твірної та висотою конуса, якщо кут між ними дорівнює 60°? Яка площа бічної поверхні конуса?

Щоб зрозуміти, яка різниця між довжиною твірної та висотою конуса, потрібно розібратися в їхніх поняттях.

Довжиною твірної конуса ми маємо на увазі відрізок, який з"єднує вершина конуса з точкою на його основі та проходить через бічну поверхню конуса. Висотою конуса називається відрізок, який з"єднує вершину конуса з основою і перпендикулярний до площини основи.

Оскільки кут між довжиною твірної та висотою конуса дорівнює 60°, то ми маємо справу з прямокутним трикутником, в якому відрізок від вершини перпендикулярний до основи утворює кут 60° з основою конуса.

Щоб знайти різницю між довжиною твірної та висотою, нам знадобиться використати теорему Піфагора. За теоремою Піфагора, сума квадратів довжин катетів прямокутного трикутника дорівнює квадрату гіпотенузи. В даному випадку, гіпотенуза - це довжина твірної, а один з катетів - це висота. Означенням тригонометрії кута 60° є, що відношення протилежного катета (висоти) до гіпотенузи (довжини твірної) дорівнює \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Отже, ми можемо записати рівняння, використовуючи теорему Піфагора:

\[ h^2 + (d/2)^2 = d^2 \]

Де \( h \) - висота, \( d \) - довжина твірної.

Підставивши значення відношення протилежного катета до гіпотенузи, отримаємо:

\[ h^2 + (\frac{d}{2})^2 = \frac{d^2}{(\sqrt{3}/2)^2} \]

Скоращаємо це рівняння:

\[ h^2 + \frac{d^2}{4} = \frac{4d^2}{3} \]

Переносимо доданок \( h^2 \) вліво і множимо обидві частини рівняння на 4, щоб позбавитися від знаменника:

\[ 4h^2 + d^2 = \frac{16d^2}{3} \]

Зведемо все до однієї частини:

\[ 4h^2 - \frac{16d^2}{3} + d^2 = 0 \]

Тепер ми маємо квадратне рівняння, яке ми можемо розв"язати відносно висоти \( h \). Коли ми знайдемо значення \( h \), різниця між довжиною твірної \( d \) та висотою \( h \) буде \( d - h \).

Щодо площі бічної поверхні конуса, ми можемо використати формулу для обчислення площі бічної поверхні конуса, яку задається формулою:

\[ S = \pi \cdot r \cdot l \]

Де \( S \) - площа бічної поверхні, \( r \) - радіус основи конуса, \( l \) - довжина твірної конуса.

Знаючи радіус основи \( r \) і довжину твірної \( d \), можна легко обчислити площу бічної поверхні \( S \).