Яка площа ромба, якщо його периметр дорівнює 80 см і одна діагональ на 8 см більша за іншу?

Давайте решим эту задачу по шагам.

Шаг 1: Предположим, что одна диагональ ромба равна \(x\) см. Так как в условии сказано, что одна диагональ на 8 см больше другой, то вторая диагональ будет равна \(x + 8\) см.

Шаг 2: Мы знаем, что периметр ромба равен 80 см. Периметр ромба можно найти, просуммировав длины всех его сторон. Так как ромб имеет четыре равных стороны, длина каждой стороны будет равна \(\frac{{80 \, \text{см}}}{4} = 20 \, \text{см}\).

Шаг 3: Поскольку диагонали ромба делят его на четыре одинаковых треугольника, каждый из этих треугольников имеет основание \(x\) см, высоту \(x + 8\) см и боковую сторону длиной 20 см.

Шаг 4: Мы можем использовать формулу для площади треугольника:
\[S = \frac{{\text{основание} \times \text{высота}}}{2}\]
В нашем случае площадь одного треугольника будет:
\[S = \frac{{x \times (x + 8)}}{2}\]

Шаг 5: Поскольку у ромба четыре одинаковых треугольника, площадь всего ромба будет равна:
\[S_{\text{ромба}} = 4 \times \frac{{x \times (x + 8)}}{2}\]

Шаг 6: Теперь мы можем упростить эту формулу и раскрыть скобки:
\[S_{\text{ромба}} = 2 \times x \times (x + 8)\]

Шаг 7: Приравняем периметр ромба к 80 см и найдем значение переменной \(x\):
\[80 = 4 \times 20 = 2 \times x \times (x + 8)\]

Шаг 8: Разделим обе части уравнения на 2 и раскроем скобки:
\[40 = x \times (x + 8)\]
\[x^2 + 8x - 40 = 0\]

Шаг 9: Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac\]

В нашем случае \(a = 1\), \(b = 8\), \(c = -40\):
\[D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40)\]
\[D = 64 + 160\]
\[D = 224\]

Шаг 10: Найдем значения переменной \(x\) с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{2a}\]
\[x = \frac{{-8 \pm \sqrt{224}}}{2 \cdot 1}\]
\[x = \frac{{-8 \pm \sqrt{16 \cdot 14}}}{2}\]
\[x = \frac{{-8 \pm 4\sqrt{14}}}{2}\]

Шаг 11: Для нас интересно только положительное значение \(x\):
\[x = \frac{{-8 + 4\sqrt{14}}}{2}\]
\[x = 2\sqrt{14} - 4\]

Шаг 12: Теперь мы можем найти площадь ромба с помощью формулы:
\[S_{\text{ромба}} = 4 \times \frac{{x \times (x + 8)}}{2}\]
\[S_{\text{ромба}} = 2 \times (2\sqrt{14} - 4) \times [(2\sqrt{14} - 4) + 8]\]
\[S_{\text{ромба}} = 2 \times (2\sqrt{14} - 4) \times (2\sqrt{14} + 4)\]
\[S_{\text{ромба}} = 2 \times (4\sqrt{14} - 8) \times (2\sqrt{14} + 4)\]
\[S_{\text{ромба}} = 16\sqrt{14} - 32 + 8\sqrt{14} - 16\]
\[S_{\text{ромба}} = 24\sqrt{14} - 48\]

Итак, площадь ромба равна \(24\sqrt{14} - 48\) квадратных сантиметров.