Яка площа перерізу конуса, якщо довжина хорди дорівнює 12 см і дуга, що її стягує, має кут 90 градусів? Висота конуса

Добро пожаловать! Чтобы найти площадь поперечного сечения конуса, нужно разделить его на две фигуры: треугольник и сектор окружности.

Первым делом найдем высоту треугольника, который образует хорда вместе с радиусом основания конуса. Так как угол, под которым стягивается дуга, равен 90 градусам, то треугольник является прямоугольным. Высота треугольника является радиусом основания конуса.

Теперь найдем длину радиуса основания конуса. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника. У нас есть гипотенуза, которая равна 12 см (длина хорды), и одна из катетов (радиус основания конуса), а другой катет (высота треугольника) нам уже известна. Найдем радиус:

\[r = \sqrt{{\text{{гипотенуза}}^2 - \text{{катет}}^2}} = \sqrt{{12^2 - \left(\frac{12}{2}\right)^2}} = \sqrt{{144 - 36}} = \sqrt{{108}} = 6\sqrt{{3}} \, \text{{см}}\]

Теперь рассмотрим сектор окружности. Угол сектора равен 90 градусам, что составляет четверть от круга. Таким образом, площадь сектора равна четверти площади всей окружности основания конуса.

Зная радиус окружности, мы можем найти ее площадь:

\[S_{\text{{окр}}} = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (6\sqrt{{3}})^2 = 36\pi \, \text{{см}}^2\]

И, наконец, найдем площадь треугольника, который образует хорда вместе с радиусом:

\[S_{\text{{треуг}}} = \frac{1}{2} \cdot \text{{основание}} \cdot \text{{высота}} = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot r = r^2 = (6\sqrt{{3}})^2 = 36 \cdot 3 = 108 \, \text{{см}}^2\]

Площадь поперечного сечения конуса равна сумме площади сектора и площади треугольника:

\[S_{\text{{сеч}}} = S_{\text{{окр}}} + S_{\text{{треуг}}} = 36\pi + 108 \, \text{{см}}^2\]

Таким образом, площадь перереза конуса составляет \(36\pi + 108 \, \text{{см}}^2\).