Яка площа основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 16 квадратним сантиметрам? Знайдіть площу повної поверхні

Для решения этой задачи, нам необходимо знать формулы для площади основы и площади поверхности правильной четырехугольной пирамиды. Важно отметить, что так как задача дана на украинском языке, я обязан пояснить материал и предоставить ответ на этом языке.

Формула для площади основы четырехугольной пирамиды:

\[S_{\text{осн}} = a^2\]

где \(a\) - длина стороны основы пирамиды.

В нашей задаче, площадь основы равна 16 квадратным сантиметрам:

\[S_{\text{осн}} = 16 \, \text{см}^2\]

Чтобы найти сторону основы пирамиды, мы можем использовать следующую формулу, учитывая, что четырехугольная пирамида имеет равностороннюю основу:

\[a = \sqrt{\frac{S_{\text{осн}}}{4}}\]

Подставив значение площади основы, мы получим:

\[a = \sqrt{\frac{16 \, \text{см}^2}{4}} = \sqrt{4} = 2 \, \text{см}\]

Теперь мы можем рассчитать площадь поверхности пирамиды. Формула для этого:

\[S_{\text{пов}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}\]

где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основы, а \(S_{\text{бок}}\) - площадь боковой поверхности пирамиды.

Поскольку наша пирамида является правильной, боковые грани треугольников будут равносторонними, и мы можем использовать формулу для площади равностороннего треугольника:

\[S_{\text{треуг}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\]

где \(a\) - длина стороны треугольника.

В нашей задаче, сторона треугольника равна \(a = 2 \, \text{см}\). Подставим эту сторону в формулу:

\[S_{\text{треуг}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (2 \, \text{см})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4 \, \text{см}^2 = \sqrt{3} \, \text{см}^2\]

Так как у пирамиды 4 боковые грани, площадь боковой поверхности будет:

\[S_{\text{бок}} = 4 \cdot S_{\text{треуг}} = 4 \cdot \sqrt{3} \, \text{см}^2\]

Теперь, подставим значения в формулу для площади поверхности пирамиды:

\[S_{\text{пов}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 16 \, \text{см}^2 + 4 \cdot \sqrt{3} \, \text{см}^2 = 16 \, \text{см}^2 + 4 \cdot \sqrt{3} \, \text{см}^2\]

Окончательный ответ будет представлен в виде:

\[S_{\text{пов}} = 16 \, \text{см}^2 + 4 \cdot \sqrt{3} \, \text{см}^2\]

Пожалуйста, обратите внимание, что я использовал математическое обозначение корня \(\sqrt{3}\).