Яка площа круга, який має такий самий радіус, як і радіус кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника з основою

Для решения этой задачи, нам сначала нужно найти радиус кола, описанного вокруг данного равнобедренного треугольника.

Рассмотрим данный треугольник. У нас есть основание, которое равно 8 см, и угол при вершине равен 120°. Так как данный треугольник равнобедренный, то его основания (боковые стороны) также равны друг другу. Пусть длина одной такой боковой стороны равна a см.

Используя свойства равнобедренного треугольника, мы можем найти длину боковой стороны a. Для этого мы можем разделить данный треугольник на два прямоугольных треугольника, проведя серединный перпендикуляр к основанию.

Так как у нас имеется прямоугольный треугольник с известной гипотенузой (основание треугольника) в 8 см и углом при вершине в 120°, мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения длины одной из катетов (боковой стороны a).

Для этого мы можем использовать следующее соотношение: \(\sin(60^\circ) = \frac{a}{8}\)
Решив данное уравнение, мы найдем значение a: \(a = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 4\sqrt{3}\) см.

Теперь, когда у нас есть длина стороны a, мы можем найти радиус равнобедренного треугольника. Радиус равнобедренного треугольника — это расстояние от его вершины до середины основания.

Мы можем найти радиус, используя свойство равнобедренного треугольника, которое гласит, что биссектриса угла при вершине равна перпендикуляру, опущенному из вершины треугольника к основанию. Таким образом, радиус равнобедренного треугольника будет равен половине длины стороны a.

\(Радиус = \frac{a}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\) см.

Теперь у нас есть радиус кола, описанного вокруг равнобедренного треугольника. Чтобы найти площадь этого круга, нам нужно воспользоваться формулой для площади круга: \(Площадь = \pi \cdot радиус^2\).

Подставляя значение радиуса в формулу, получаем:
\(Площадь = \pi \cdot (2\sqrt{3})^2 = 4\pi \cdot 3 = 12\pi\) квадратных сантиметров.

Таким образом, площадь круга, с радиусом равным радиусу описанного кола вокруг данного равнобедренного треугольника, составляет 12\(\pi\) квадратных сантиметров.