Яка площа фігури, обмеженої параболою y=8- x^2 і лінією y=x^2?

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y=8-x^2$ и линией $y=x^2$, нам необходимо определить точки пересечения этих двух функций. После этого мы сможем построить график и найти площадь под кривыми.

Для начала найдем точки пересечения параболы и линии. Подставим уравнения вместо $y$ друг в друга:

$$x^2=8-x^2$$

Теперь сгруппируем все $x$ слева и все числа справа:

$$2x^2=8$$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$x^2=4$$

Теперь извлечем квадратный корень:

$$x=\pm 2$$

Таким образом, получаем две точки пересечения: $(-2,4)$ и $(2,4)$.

Теперь мы можем построить график, чтобы проиллюстрировать нашу фигуру:

$$\begin{array}{rl}\text{График 1: }y& =8-x^2\\ \text{График 2: }y& =x^2\end{array}$$

$$\begin{array}{|ccc|}\hline x& y_1& y_2\\ -3& 5& 9\\ -2& 4& 4\\ -1& 7& 1\\ 0& 8& 0\\ 1& 7& 1\\ 2& 4& 4\\ 3& 5& 9\\ \hline\end{array}$$

Теперь мы видим, что фигура ограничена параболой $y=8-x^2$ и линией $y=x^2$ и имеет две половинки. Одна половинка находится ниже $x$-оси, а другая - выше. Наша задача - найти площадь обоих половинок и сложить их.

Давайте начнем с верхней половинки. Чтобы найти ее площадь, нам нужно взять интеграл от $y=8-x^2$ для $x$ от $-2$ до $2$:

$${\int }_{-2}^2(8-x^2)dx$$

Для расчета этого интеграла найдем первообразную функции $8-x^2$:

$$\int (8-x^2)dx=8x-\frac{x^3}{3}$$

Теперь вычислим значение этого выражения для $x=2$ и $x=-2$ и найдем разность:

$${[8x-\frac{x^3}{3}]}_{-2}^2=[(8\cdot 2-\frac{2^3}{3})-(8\cdot (-2)-\frac{(-2{)}^3}{3})]=16-\frac{8}{3}-(-16+\frac{8}{3})=16-\frac{8}{3}+16-\frac{8}{3}=\frac{128}{3}$$

Таким образом, площадь верхней половинки фигуры составляет $\frac{128}{3}$.

Теперь рассмотрим нижнюю половинку фигуры. Ее площадь будет равна площади верхней половинки, так как парабола $y=8-x^2$ и линия $y=x^2$ симметричны относительно $x$-оси.

Таким образом, общая площадь фигуры, ограниченной параболой $y=8-x^2$ и линией $y=x^2$, составляет:

$$2\cdot \left(\frac{128}{3}\right)=\frac{256}{3}$$

Ответ: площадь фигуры, ограниченной параболой $y=8-x^2$ и линией $y=x^2$, равна $\frac{256}{3}$.