Яка площа фігури, обмеженої параболою y=8- x^2 і лінією y=x^2?

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой \(y = 8 - x^2\) и линией \(y = x^2\), нам необходимо определить точки пересечения этих двух функций. После этого мы сможем построить график и найти площадь под кривыми.

Для начала найдем точки пересечения параболы и линии. Подставим уравнения вместо \(y\) друг в друга:

\[x^2 = 8 - x^2\]

Теперь сгруппируем все \(x\) слева и все числа справа:

\[2x^2 = 8\]

Разделим обе части уравнения на 2:

\[x^2 = 4\]

Теперь извлечем квадратный корень:

\[x = \pm 2\]

Таким образом, получаем две точки пересечения: \((-2,4)\) и \((2,4)\).

Теперь мы можем построить график, чтобы проиллюстрировать нашу фигуру:

\[
\begin{align*}
\text{График 1: } y &= 8 - x^2 \\
\text{График 2: } y &= x^2
\end{align*}
\]

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y_1 & y_2 \\
\hline
-3 & 5 & 9 \\
-2 & 4 & 4 \\
-1 & 7 & 1 \\
0 & 8 & 0 \\
1 & 7 & 1 \\
2 & 4 & 4 \\
3 & 5 & 9 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь мы видим, что фигура ограничена параболой \(y = 8 - x^2\) и линией \(y = x^2\) и имеет две половинки. Одна половинка находится ниже \(x\)-оси, а другая - выше. Наша задача - найти площадь обоих половинок и сложить их.

Давайте начнем с верхней половинки. Чтобы найти ее площадь, нам нужно взять интеграл от \(y = 8 - x^2\) для \(x\) от \(-2\) до \(2\):

\[
\int_{-2}^{2} (8 - x^2) \, dx
\]

Для расчета этого интеграла найдем первообразную функции \(8 - x^2\):

\[
\int (8 - x^2) \, dx = 8x - \frac{x^3}{3}
\]

Теперь вычислим значение этого выражения для \(x = 2\) и \(x = -2\) и найдем разность:

\[
\left[8x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \left[(8 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}) - (8 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{3})\right] = 16 - \frac{8}{3} - (-16 + \frac{8}{3}) = 16 - \frac{8}{3} + 16 - \frac{8}{3} = \frac{128}{3}
\]

Таким образом, площадь верхней половинки фигуры составляет \(\frac{128}{3}\).

Теперь рассмотрим нижнюю половинку фигуры. Ее площадь будет равна площади верхней половинки, так как парабола \(y = 8 - x^2\) и линия \(y = x^2\) симметричны относительно \(x\)-оси.

Таким образом, общая площадь фигуры, ограниченной параболой \(y = 8 - x^2\) и линией \(y = x^2\), составляет:

\[
2 \cdot \left(\frac{128}{3}\right) = \frac{256}{3}
\]

Ответ: площадь фигуры, ограниченной параболой \(y = 8 - x^2\) и линией \(y = x^2\), равна \(\frac{256}{3}\).