Яка площа частини круга, яка не включає шестикутник, який вписаний в цей круг з радіусом 4 сантиметра?

Чтобы найти площадь части круга, которая не включает в себя вписанный шестиугольник, нам сначала нужно найти площадь всего круга, а затем вычесть из нее площадь шестиугольника.

Шаг 1: Найдем площадь всего круга.
Формула для площади круга с радиусом \(r\) - это \(\pi r^2\).
В данном случае, радиус круга равен 4 сантиметра. Подставим это значение в формулу площади круга:
\[S_{\text{круга}} = \pi \cdot (4 \, \text{см})^2\]

Шаг 2: Найдем площадь вписанного шестиугольника.
Формула для площади правильного шестиугольника со стороной \(a\) - это \(\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^2\).
Угол в центре любого правильного многоугольника равен 360 градусов, поэтому угол в центре шестиугольника также равен 360 градусам. Каждая из внутренних углов шестиугольника будет равна \(\frac{360}{6} = 60\) градусов.
Мы можем применить формулу площади шестиугольника, зная длину стороны, которая в данном случае равна радиусу круга:
\[S_{\text{шестиугольника}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (4 \, \text{см})^2\]

Шаг 3: Вычтем площадь шестиугольника из площади круга, чтобы найти площадь части круга, которая не включает в себя шестиугольник:
\[S_{\text{части круга}} = S_{\text{круга}} - S_{\text{шестиугольника}}\]

Теперь давайте вычислим все значения и найдем итоговый ответ.

\[S_{\text{круга}} = \pi \cdot (4 \, \text{см})^2 = 16\pi \, \text{см}^2\]

\[S_{\text{шестиугольника}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (4 \, \text{см})^2 = 24\sqrt{3} \, \text{см}^2\]

\[S_{\text{части круга}} = 16\pi \, \text{см}^2 - 24\sqrt{3} \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь части круга, которая не включает в себя вписанный шестиугольник, равна \(16\pi \, \text{см}^2 - 24\sqrt{3} \, \text{см}^2\).