Яка площа бічної поверхні зрізаної піраміди, якщо діагоналі основи мають довжини 6 см і 2 см, а двогранний

Чтобы найти площадь боковой поверхности зрезанной пирамиды, мы должны рассмотреть её две основы и боковые грани. Для начала, определим высоту пирамиды, используя данный нам двогранный угол.

Для решения этой задачи, нам нужно использовать теорему косинусов. По теореме косинусов, сумма квадратов длин двух сторон треугольника равна удвоенному произведению этих сторон на косинус величины противолежащего угла. Обозначим длины диагоналей основы пирамиды как \(a\) и \(b\), а двогранный угол как \(\alpha\). Тогда у нас есть следующие данные:

Длина первой диагонали: \(a = 6\) см
Длина второй диагонали: \(b = 2\) см
Величина двогранного угла: \(\alpha = 60\) градусов

Мы можем использовать теорему косинусов для нахождения высоты пирамиды. Пусть \(h\) - это высота пирамиды, тогда по теореме косинусов у нас есть:

\((a/2)^2 + (b/2)^2 - a \cdot b \cdot \cos(\alpha) = h^2\)

Подставляя значения в формулу, мы получаем:

\((6/2)^2 + (2/2)^2 - 6 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = h^2\)

\(3^2 + 1^2 - 12 \cdot \frac{1}{2} = h^2\)

\(9 + 1 - 6 = h^2\)

\(4 = h^2\)

\(h = 2\)

Теперь, когда мы знаем высоту пирамиды (\(h = 2\) см), мы можем найти боковые грани.

Площадь одной из боковых граней пирамиды может быть найдена по формуле:
\[S_{\text{грани}} = \frac{1}{2} \cdot \text{периметр основы} \cdot \text{высоту}.\]

Периметр основы пирамиды может быть найден как сумма всех сторон:

\(\text{периметр основы} = a + b + \text{длина ребра большей основы} + \text{длина ребра меньшей основы}\).

Мы знаем, что длины диагоналей основы пирамиды равны 6 см и 2 см соответственно, а длина ребра меньшей основы (основа, на которой находится более острый угол) равна половине длины диагонали меньшей основы:

\(\text{длина ребра меньшей основы} = \frac{b}{2}\).

Таким образом, мы можем рассчитать периметр основы пирамиды и площадь боковых граней:

\(\text{периметр основы} = 6 + 2 + \frac{2}{2} + \frac{6}{2} = 12\) см

\(S_{\text{грани}} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 2 = 12\) см²

Так как пирамида имеет две равные боковые грани, площадь боковой поверхности будет удвоенной площадью одной боковой грани.

Таким образом, площадь боковой поверхности зрезанной пирамиды составляет \(2 \cdot 12 = 24\) см².