Яка є об єм піраміди з основою у вигляді прямокутника з меншою стороною довжиною 5 см і кутом між діагоналями 60°

Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы для расчета объема пирамиды. Объем пирамиды можно найти, используя формулу \(\text{Объем} = \frac{1}{3} \times \text{Площадь основания} \times \text{Высота}\).

Для начала, нам понадобится найти площадь основания пирамиды. Основание нашей пирамиды имеет форму прямоугольника и площадь прямоугольника можно найти, используя формулу \(\text{Площадь} = \text{длина} \times \text{ширина}\).

По условию, меньшая сторона прямоугольника имеет длину 5 см. Так как прямоугольник не прямоугольный, нам неизвестна ширина. Однако, мы знаем, что угол между диагоналями составляет 60°. Так как у нас имеется прямоугольник, угол между диагональю и боковой стороной равен 45°. У нас есть два прямоугольных треугольника с известными углами: один равен 45°, а другой 60°. Таким образом, можно использовать тригонометрические соотношения, чтобы найти ширину прямоугольника.

Для нахождения ширины, мы можем использовать соотношение тангенса противоположного угла прямоугольного треугольника: \(\tan(60°) = \frac{\text{противоположная сторона}}{\text{прилежащая сторона}}\). Прилежащая сторона - это 5 см (меньшая сторона прямоугольника). Получаем \(\tan(60°) = \frac{\text{противоположная сторона}}{5}\). Решая это уравнение относительно противоположной стороны, мы получим \(\text{противоположная сторона} = 5 \times \tan(60°)\).

Теперь, когда у нас есть длина и ширина, мы можем найти площадь основания прямоугольника, используя формулу \(\text{Площадь} = \text{длина} \times \text{ширина}\).

Далее, нам нужно найти высоту пирамиды. Высота пирамиды - это расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания. В данной задаче высоту пирамиды мы не знаем, поэтому обозначим ее как \(h\).

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту пирамиды. Нам понадобятся три стороны прямоугольного треугольника: 5 см, \(\text{противоположная сторона}\) и \(h\) (гипотенуза). Мы знаем, что угол между диагоналями прямоугольника составляет 60°, поэтому мы можем использовать соотношение синуса: \(\sin(60°) = \frac{\text{противоположная сторона}}{h}\). Решая это уравнение относительно \(h\), мы получаем \(h = \frac{\text{противоположная сторона}}{\sin(60°)}\).

Теперь, когда у нас есть площадь основания и высота, мы можем найти объем пирамиды, используя формулу \(\text{Объем} = \frac{1}{3} \times \text{Площадь основания} \times \text{Высота}\).

Подставляя все известные значения, мы можем рассчитать ответ. Не забудьте преобразовать углы в радианы, если требуется, а также округлить ответ до нужного количества знаков после запятой для удобства понимания.