Яка маса цезію-137 присутня у молоці, якщо активність цезію-137 становить

Щоб визначити масу цезію-137 у молоці, потрібно знати активність цезію-137 та його період напіврозпаду, а також зв"язок між активністю і масою.

Активність речовини визначається кількістю ядерних розпадів, що відбуваються в одиницю часу. Зазвичай вимірюється в бекерелях (Bq). Період напіврозпаду - це час, за який активність речовини зменшується вдвічі.

Перейдемо до розрахунків. Для вирішення задачі нам додатково необхідна формула:

\[A = A_0 \cdot e^{-\lambda t}\]

де:
\(A\) - активність в данний момент часу,
\(A_0\) - початкова активність,
\(\lambda\) - константа розпаду,
\(t\) - час.

За умовою задачі, активність цезію-137 вказана, тому введемо її значення \(A = 200\) Бк (бекерелів).

Тепер треба знайти початкову активність \(A_0\) для того, щоб використати формулу. Цю величину можна знайти, використовуючи співвідношення:

\[\lambda = \frac{{\ln 2}}{{T_{\frac{1}{2}}}}\]

де:
\(\lambda\) - константа розпаду,
\(T_{\frac{1}{2}}\) - період напіврозпаду.

Для цезію-137, період напіврозпаду складає 30 років, тобто \(T_{\frac{1}{2}} = 30\).

Підставимо значення і отримаємо:

\[\lambda = \frac{{\ln 2}}{{30}}\]

Тепер у формулу можна підставити все відоме та знайти значення початкової активності \(A_0\):

\[A = A_0 \cdot e^{-\lambda t}\]

\[200 = A_0 \cdot e^{-\frac{{\ln 2}}{{30}} \cdot t}\]

Нехай маса цезію-137 у молоці дорівнює \(m\) грамам. Існує зв"язок між масою і активністю, який можна виразити так:

\[A = k \cdot m\]

де \(k\) - коефіцієнт пропорційності.

Ми знаємо активність цезію-137 \(A = 200\) Бк і хочемо знайти масу \(m\). Тому ми можемо записати:

\[200 = k \cdot m\]

Тепер ми маємо дві рівняння:

\[200 = A_0 \cdot e^{-\frac{{\ln 2}}{{30}} \cdot t}\]

\[200 = k \cdot m\]

Ми хочемо знайти масу \(m\), тому знайдемо значення початкової активності \(A_0\) з першого рівняння і підставимо його у друге рівняння:

\[A_0 = \frac{{200}}{{e^{-\frac{{\ln 2}}{{30}} \cdot t}}}\]

Підставляємо значення \(A_0\) в \(200 = k \cdot m\):

\[200 = \frac{{200}}{{e^{-\frac{{\ln 2}}{{30}} \cdot t}}} \cdot m\]

Скоротимо спільний множник 200:

\[1 = \frac{1}{{e^{-\frac{{\ln 2}}{{30}} \cdot t}}} \cdot m\]

Тепер використаємо властивості експоненти:

\[e^{-\frac{{\ln 2}}{{30}} \cdot t} = \frac{1}{2}\]

Підставимо це в рівняння:

\[1 = \frac{1}{2} \cdot m\]

Помножимо обидві частини рівняння на 2:

\[2 = m\]

Отже, маса цезію-137 у молоці становить 2 грами.