Яка є фокусна відстань лінзи, якщо перше зображення предмета на екрані в чотири рази більше за друге зображення

Для решения задачи о фокусной дистанции линзы, нам следует воспользоваться линзовым уравнением, которое связывает фокусное расстояние линзы (\(f\)), расстояние предмета от линзы (\(d_o\)) и расстояние изображения от линзы (\(d_i\)). Линзовое уравнение выглядит следующим образом:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\]

Мы знаем, что первое изображение на экране в четыре раза больше второго изображения. Это означает, что соотношение между \(d_o\) и \(d_i\) равно 4:1.

Предмет находится на расстоянии 90 см от экрана, поэтому \(d_o = -90\) см (минус так как предмет находится по одну сторону линзы) и нам нужно найти значение фокусного расстояния \(f\).

Допустим, первое изображение находится на расстоянии \(x\) от линзы, тогда второе изображение будет находиться на расстоянии \(x/4\) от линзы.

Таким образом, мы получаем следующую систему уравнений:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{-90} + \frac{1}{x}\]
\[\frac{1}{f} = \frac{1}{-90} + \frac{1}{\frac{x}{4}}\]

Для упрощения уравнений можем заметить, что \(\frac{1}{\frac{x}{4}} = \frac{4}{x}\)

Подставим эти значения в линзовое уравнение:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{-90} + \frac{4}{x}\]

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает \(f\) и \(x\). Для того чтобы найти численное значение, нам понадобится второе уравнение.

Мы знаем, что предмет перемещается линзой между предметом и экраном. Значит, сумма расстояний до линзы до предмета и после линзы до изображения должна равняться 90 см.

\[x + \frac{x}{4} = 90\]

Упростим уравнение:

\[\frac{5}{4}x = 90\]
\[x = \frac{90 \cdot 4}{5}\]
\[x = 72\]

Теперь мы можем подставить \(x\) в наше первое уравнение, чтобы найти фокусное расстояние \(f\):

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{-90} + \frac{4}{72}\]

Упростим уравнение:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{-90} + \frac{1}{18}\]

Найдем общий знаменатель:

\[\frac{1}{f} = \frac{-2+10}{180}\]
\[\frac{1}{f} = \frac{8}{180}\]

Теперь найдем \(f\):

\[f = \frac{180}{8}\]
\[f = 22.5\]

Таким образом, фокусное расстояние линзы равно 22.5 см.