Яка довжина кожної із основ трапеції, яку описано навколо кола з відомим радіусом?

Чтобы решить эту задачу, давайте вспомним некоторые свойства трапеции и окружности.

Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основы), а две другие стороны непараллельны (боковые стороны). Давайте обозначим основы трапеции как \(a\) и \(b\), а радиус окружности как \(r\).

Окружность, описанная вокруг трапеции, будет касаться каждой из основ трапеции в точке. Обозначим эти точки касания как \(A\) и \(B\).

Мы знаем, что радиус окружности является перпендикуляром к основе трапеции, проведенным из середины этой основы. Таким образом, \([AA"]\) и \([BB"]\) являются высотами, опущенными из центра окружности (то есть радиусами).

Основы \(a\) и \(b\) трапеции соединены радиусами окружности с центром \(O\). Таким образом, получаем треугольник \(AOB\), в котором сторона \(AO\) равна полусумме основ трапеции, а сторона \(OB\) равна полуразности основ трапеции.

Используя теорему Пифагора для треугольника \(AOB\), мы можем найти длину каждой из основ трапеции:

\[
\begin{align*}
AO^2 + BO^2 &= AB^2 \\
\left(\frac{a + b}{2}\right)^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 &= r^2 \\
\frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} + \frac{a^2 - 2ab + b^2}{4} &= r^2 \\
\frac{2a^2 + 2b^2}{4} &= r^2 \\
\frac{a^2 + b^2}{2} &= r^2 \\
a^2 + b^2 &= 2r^2 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, мы получили формулу для нахождения суммы квадратов основ трапеции.

Чтобы найти длину каждой из основ, нужно извлечь квадратный корень из обеих сторон:

\[
\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2r^2}
\]

Таким образом, длина каждой из основ трапеции равна \(\sqrt{2r^2}\) или \(\sqrt{2}r\).