Яка довжина діагоналі прямокутника ABCD, якщо точка перетину діагоналей - це точка М, і AM дорівнює

Нам дано, что точка перетину діагоналей прямокутника ABCD називається точкою M, а довжина однієї з діагоналей AM дорівнює 5. Ми хочемо знайти довжину діагоналі ABCD.

Для початку, давайте зазначимо, що прямокутник ABCD є прямокутником, оскільки прямокутник має перпендикулярні сторони, а його діагоналі розділяються навпіл та перпендикулярні одна одній.

Для того, щоб знайти довжину діагоналі ABCD, нам знадобиться використати властивості прямокутників.

Один з методів - застосування теореми Піфагора до прямокутного трикутника. У нашому випадку, прямокутний трикутник AMB має сторони AM (5) та MB (не зазначено у тексті).

Використовуючи теорему Піфагора, ми можемо записати:

\[ AB^2 = AM^2 + MB^2 \]

Давайте позначимо довжину другої діагоналі як MB. Ми знаємо, що діагоналі ABCD розділяються навпіл, тому AM і MB мають однакову довжину.

Замінюючи AM на 5 і MB на \(x\), ми отримуємо рівняння:

\[ AB^2 = 5^2 + x^2 \]

Тепер нам потрібно врахувати, що прямокутник ABCD є прямокутником. Це означає, що всі його кути рівні 90 градусам. Це дає нам додаткову властивість - діагоналі ABCD ділять одну іншу навпіл під прямим кутом. Тобто, якщо AM і MB є рівними сторонами прямокутного трикутника, то їх квадрати також повинні бути рівні.

Тому, ми можемо записати:

\[ AM^2 + BM^2 = AB^2 \]

Замінюючи AM на 5 і BM на \(x\), ми отримуємо:

\[ 5^2 + x^2 = AB^2 \]

З останнього рівняння ми бачимо, що \( AB^2 = 5^2 + x^2 \), тобто квадрат довжини діагоналі ABCD дорівнює сумі квадратів \( AM^2 \) і \( BM^2 \). Оскільки AM і BM мають однакову довжину, це рівняння можна переписати у вигляді:

\[ AB^2 = 2 \cdot AM^2 \]

Тепер нам залишилося знайти квадрат довжини діагоналі ABCD. Для цього ми помножимо 2 на квадрат довжини AM:

\[ AB^2 = 2 \cdot 5^2 \]

\[ AB^2 = 50 \]

Отримали, що квадрат довжини діагоналі ABCD дорівнює 50.

Останнім кроком буде взяти квадратний корінь з обох боків, щоб знайти довжину діагоналі ABCD:

\[ AB = \sqrt{50} \]

Зберемо значення:

\[ AB \approx 7.07 \]

Таким чином, довжина діагоналі прямокутника ABCD приблизно 7.07.