Яка довжина бічного ребра правильної чотирикутної піраміди, якщо довжина сторони основи дорівнює 6 см, а кут між бічним

Для решения данной задачи обратимся к свойству треугольника, в котором сумма углов равна 180°.

Обозначим боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды как $a$. Также известно, что длина стороны основания равна 6 см.

Есть несколько способов решить эту задачу. Один из них - использовать свойство синуса в прямоугольном треугольнике. Построим прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой будет боковое ребро $a$, катетом - половина стороны основания $3\text{см}$, а противоположным катетом - отрезок, описывающий прямоугольник, который образуется между основанием, боковым ребром и его проекцией на плоскость основания.

Теперь рассмотрим треугольник с катетами 3 см и $a$ и гипотенузой $a$. Угол между катетом и гипотенузой составляет 30°. Как мы знаем, синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположнего катета к гипотенузе.

Поэтому мы можем написать следующее уравнение:

$$\sin {30}^{\circ }=\frac{3}{a}$$

Раскроем синус 30°, зная его значение: $\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}$.

Теперь мы можем решить уравнение относительно $a$:

$$\frac{1}{2}=\frac{3}{a}$$

Для выражения $a$ умножим обе части уравнения на 2:

$$2\cdot \frac{1}{2}=2\cdot \frac{3}{a}$$

$$1=\frac{6}{a}$$

Теперь мы можем выразить $a$:

$$a=6\text{см}$$

Таким образом, длина бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см.

Теперь перейдем к вычислению объема пирамиды. Объем пирамиды можно найти по формуле:

$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h$$

Где $S_{\text{осн}}$ - площадь основания, а $h$ - высота пирамиды.

Так как у нас правильная четырехугольная пирамида, основание - квадрат, и его площадь равна $6\text{см}\times 6\text{см}=36{\text{см}}^2$. Осталось найти высоту пирамиды.

Мы можем разделить боковое ребро на две части: одна часть - катет прямоугольного треугольника, другая - высота пирамиды. Разделив боковое ребро на две части, мы получим равнобедренный треугольник со стороной основания 3 см и высотой $h$.

Рассмотрим этот треугольник. Мы знаем, что угол между катетом и его высотой составляет 30° и что катет равен $3\text{см}$. Так как это равнобедренный треугольник, то высота $h$ будет составлять 30° с катетом.

Теперь решим уравнение для нахождения $h$. Для этого воспользуемся тангенсом:

$$\tan {30}^{\circ }=\frac{h}{3}$$

Значение тангенса 30° равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Теперь умножим обе части уравнения на 3:

$$3\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{3}\cdot 3$$

$$\frac{3}{\sqrt{3}}=h$$

Далее упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$$\frac{3\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=h$$

$$\frac{3\cdot \sqrt{3}}{3}=h$$

Теперь мы можем выразить $h$:

$$h=\sqrt{3}\text{см}$$

Таким образом, высота пирамиды равна $\sqrt{3}\text{см}$.

Теперь мы можем вычислить объем пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h$$

$$V=\frac{1}{3}\cdot 36{\text{см}}^2\cdot \sqrt{3}\text{см}$$

$$V=12\sqrt{3}{\text{см}}^3$$

Таким образом, объем пирамиды составляет $12\sqrt{3}{\text{см}}^3$.