Яка довжина бічного ребра правильної чотирикутної піраміди, якщо довжина сторони основи дорівнює 6 см, а кут між бічним

Для решения данной задачи обратимся к свойству треугольника, в котором сумма углов равна 180°.

Обозначим боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды как \(a\). Также известно, что длина стороны основания равна 6 см.

Есть несколько способов решить эту задачу. Один из них - использовать свойство синуса в прямоугольном треугольнике. Построим прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой будет боковое ребро \(a\), катетом - половина стороны основания \(3\, \text{см}\), а противоположным катетом - отрезок, описывающий прямоугольник, который образуется между основанием, боковым ребром и его проекцией на плоскость основания.

Теперь рассмотрим треугольник с катетами 3 см и \(a\) и гипотенузой \(a\). Угол между катетом и гипотенузой составляет 30°. Как мы знаем, синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположнего катета к гипотенузе.

Поэтому мы можем написать следующее уравнение:

\[\sin 30^\circ = \frac{3}{a}\]

Раскроем синус 30°, зная его значение: \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\).

Теперь мы можем решить уравнение относительно \(a\):

\[\frac{1}{2} = \frac{3}{a}\]

Для выражения \(a\) умножим обе части уравнения на 2:

\[2 \cdot \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{3}{a}\]

\[1 = \frac{6}{a}\]

Теперь мы можем выразить \(a\):

\[a = 6\, \text{см}\]

Таким образом, длина бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см.

Теперь перейдем к вычислению объема пирамиды. Объем пирамиды можно найти по формуле:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h\]

Где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания, а \(h\) - высота пирамиды.

Так как у нас правильная четырехугольная пирамида, основание - квадрат, и его площадь равна \(6 \, \text{см} \times 6 \, \text{см} = 36 \, \text{см}^2\). Осталось найти высоту пирамиды.

Мы можем разделить боковое ребро на две части: одна часть - катет прямоугольного треугольника, другая - высота пирамиды. Разделив боковое ребро на две части, мы получим равнобедренный треугольник со стороной основания 3 см и высотой \(h\).

Рассмотрим этот треугольник. Мы знаем, что угол между катетом и его высотой составляет 30° и что катет равен \(3 \, \text{см}\). Так как это равнобедренный треугольник, то высота \(h\) будет составлять 30° с катетом.

Теперь решим уравнение для нахождения \(h\). Для этого воспользуемся тангенсом:

\[\tan 30^\circ = \frac{h}{3}\]

Значение тангенса 30° равно \(\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Теперь умножим обе части уравнения на 3:

\[3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{3} \cdot 3\]

\[\frac{3}{\sqrt{3}} = h\]

Далее упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):

\[\frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = h\]

\[\frac{3 \cdot \sqrt{3}}{3} = h\]

Теперь мы можем выразить \(h\):

\[h = \sqrt{3}\, \text{см}\]

Таким образом, высота пирамиды равна \(\sqrt{3}\, \text{см}\).

Теперь мы можем вычислить объем пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h\]

\[V = \frac{1}{3} \cdot 36 \, \text{см}^2 \cdot \sqrt{3}\, \text{см}\]

\[V = 12 \sqrt{3}\, \text{см}^3\]

Таким образом, объем пирамиды составляет \(12 \sqrt{3}\, \text{см}^3\).