Яка була швидкість кулі перед початком піднімання мішка із піском, якщо мішок піднявся на висоту 8 мм вище свого

Давайте решим эту задачу шаг за шагом:

1. В начальный момент времени, куля летит горизонтально, поэтому ее вертикальная скорость равна нулю.

2. Когда куля застревает в мешке, возникает система куля-мешок. Эта система будет двигаться вместе с мешком, но взаимодействия с внешними силами нет, поэтому система остается изолированной.

3. Из закона сохранения механической энергии следует, что полная механическая энергия системы остается постоянной во всем процессе.

4. Полная механическая энергия состоит из кинетической энергии и потенциальной энергии:

\[E = K + U\]

5. Перед поднятием мешка, начальная полная механическая энергия системы равна кинетической энергии кули.

\[E_{нач} = K_{нач} = \frac{1}{2}mv^2\]

где \(m\) - масса кули, \(v\) - скорость кули перед поднятием мешка.

6. После поднятия мешка на высоту 8 мм, полная механическая энергия системы будет равна сумме кинетической энергии и потенциальной энергии кули и мешка.

\[E_{кон} = K_{кон} + U_{кон}\]

где \(K_{кон}\) - конечная кинетическая энергия кули и мешка, \(U_{кон}\) - потенциальная энергия кули и мешка на высоте 8 мм.

7. Поскольку система остается изолированной, начальная и конечная полная механическая энергия системы должна быть одинакова.

\[E_{нач} = E_{кон}\]

\[K_{нач} = K_{кон} + U_{кон}\]

\[\frac{1}{2}mv^2 = K_{кон} + U_{кон}\]

8. Зная, что потенциальная энергия вычисляется как \(U = mgh\), где \(m\) - масса, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота, подставим это в уравнение:

\[\frac{1}{2}mv^2 = K_{кон} + mgh_{кон}\]

где \(h_{кон} = 8\) мм \(= 0.008\) м.

9. Теперь мы можем решить уравнение для \(v\):

\[\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_{кон}^2 + mgh_{кон}\]

Вычтем \(\frac{1}{2}mv_{кон}^2\) из обеих частей уравнения:

\[\frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_{кон}^2 = mgh_{кон}\]

\[\frac{1}{2}mv^2 = mgh_{кон} + \frac{1}{2}mv_{кон}^2\]

Известные значения: \(m = 0.01 \, \text{кг}\), \(g = 9.8 \, \text{м/с}^2\), \(h_{кон} = 0.008 \, \text{м}\), \(v_{кон} = 0 \, \text{м/с}\).

Подставив эти значения, получим:

\[\frac{1}{2} \cdot 0.01 \cdot v^2 = 0.01 \cdot 9.8 \cdot 0.008 + \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot 0\]

\[0.00005v^2 = 0.0000784\]

Разделим обе части уравнения на \(0.00005\):

\[v^2 = \frac{0.0000784}{0.00005}\]

\[v^2 = 1.568\]

Возьмем квадратный корень от обоих частей:

\[v = \sqrt{1.568}\]

\[v \approx 1.25\, \text{м/с}\]

Таким образом, скорость кули перед поднятием мешка составляет около 1.25 м/с.