Як знайти точки, в яких функція ƒ(x)=6x3+18x має критичні значення?

Чтобы найти точки, в которых функция \(ƒ(x) = 6x^3 + 18x\) имеет критические значения, нам нужно найти значения \(x\), в которых производная функции равна нулю или не существует. Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Найдите производную функции \(ƒ(x)\).

Для этого нам понадобится использовать правила дифференцирования. Производная функции \(ƒ(x)\) будет равна сумме производных каждого слагаемого.
\[ƒ"(x) = \frac{{d}}{{dx}}(6x^3) + \frac{{d}}{{dx}}(18x)\]

По правилу дифференцирования степенной функции \(d(x^n)/dx = nx^{n-1}\), получаем
\[ƒ"(x) = 3 \cdot 6x^{3-1} + 18 \cdot \frac{{d}}{{dx}}(x^1)\]
\[ƒ"(x) = 18x^2 + 18 \cdot 1\]
\[ƒ"(x) = 18x^2 + 18\]

Шаг 2: Решите уравнение \(ƒ"(x) = 0\) для нахождения точек, в которых производная равна нулю.

Мы можем решить уравнение следующим образом:
\[18x^2 + 18 = 0\]

Вычтем 18 с обеих сторон:
\[18x^2 = -18\]

Разделим обе части на 18:
\[x^2 = -1\]

Так как у нас есть отрицательное число в квадрате, уравнение не имеет действительных корней. Значит, уравнение \(ƒ"(x) = 0\) не имеет решений.

Шаг 3: Проверьте значения \(x\), при которых производная \(ƒ"(x)\) не существует.

Мы знаем, что производная может не существовать только в точках разрыва или точках с острым углом в графике функции. Однако функция \(ƒ(x) = 6x^3 + 18x\) не имеет точек разрыва и не имеет острых углов. Таким образом, у этой функции нет значений \(x\), при которых ее производная не существует.

В итоге, функция \(ƒ(x) = 6x^3 + 18x\) не имеет критических значений, так как не существует значений \(x\), при которых производная равна нулю или не существует.