Як знайти сторону AB трикутника ABC, якщо сторона BC дорівнює квадратному кореню з двох, а кут B дорівнює 15 градусам

Щоб знайти сторону AB трикутника ABC, нам знадобиться застосувати теорему синусів. Теорема синусів стверджує, що в будь-якому трикутнику співвідношення між довжинами сторін і синусами відповідних кутів є рівними. У нашому випадку ми можемо записати:

\[\frac{AB}{\sin A} = \frac{BC}{\sin B}\]

Для початку знайдемо значення синуса кута A. Кут A дорівнює 135 градусам, тому щоб знайти значення синуса цього кута, нам потрібно знайти синус коли кут дорівнює (135 - 180) градусів. Оскільки синус є періодичною функцією з періодом 360 градусів, ми можемо записати:

\[\sin A = \sin (135 - 180) = \sin (-45)\]

У цьому випадку, синус кута -45 градусів дорівнює синусу кута 315 градусів, оскільки вони знаходяться на протилежних квадрантах. Тож:

\[\sin A = \sin 315^\circ\]

Аналогічно, знайдемо значення синуса кута B. Кут B дорівнює 15 градусам, тому:

\[\sin B = \sin 15^\circ\]

Підставляючи ці значення в рівняння теореми синусів:

\[\frac{AB}{\sin 315^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 15^\circ}\]

Ми можемо розв"язати це рівняння, виразивши AB:

\[AB = \frac{\sqrt{2} \cdot \sin 315^\circ}{\sin 15^\circ}\]

Тепер застосуємо тригонометричні значення для кутів 315 градусів і 15 градусів. За тригонометричними властивостями, синус 315 градусів дорівнює синусу 45 градусів, тобто:

\[\sin 315^\circ = \sin 45^\circ\]

Так само, можна отримати, що синус 15 градусів дорівнює синусу 165 градусів, тобто:

\[\sin 15^\circ = \sin 165^\circ\]

Підставимо отримані значення в формулу для AB:

\[AB = \frac{\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 165^\circ}\]

За таблицею тригонометричних значень або використовуючи калькулятор, отримуємо числове значення AB.