Як зміниться тиск ідеального газу, якщо середня квадратична швидкість молекул збільшиться в 9 разів за незмінної

Для розв"язання даної задачі нам потрібно використати закон Бойля-Маріотта, який встановлює залежність між тиском та об"ємом ідеального газу за умов незмінної температури.

Закон Бойля-Маріотта формулюється так: "При постійній температурі об"єм ідеального газу зворотно пропорційний тиску". Математично це можна записати як \(P_1 \cdot V_1 = P_2 \cdot V_2\), де \(P_1\) і \(P_2\) - початковий тиск і кінцевий тиск відповідно, а \(V_1\) і \(V_2\) - початковий об"єм і кінцевий об"єм відповідно.

У нашому випадку, концентрація молекул залишається незмінною, тому можемо припустити, що початковий об"єм газу також залишається незмінним. Але середня квадратична швидкість молекул збільшилася в 9 разів.

За формулою Ейнштейна \(v_r = \sqrt{\frac{{3RT}}{{M}}}\), де \(v_r\) - середня квадратична швидкість, \(R\) - газова константа, \(T\) - абсолютна температура в Кельвінах, \(M\) - молярна маса газу.

Отже, якщо середня квадратична швидкість молекул збільшилася в 9 разів, це означає, що \(v_2 = 9 \cdot v_1\) (де \(v_1\) - початкова середня квадратична швидкість, \(v_2\) - кінцева середня квадратична швидкість).

Закон Бойля-Маріотта можна тепер записати так: \(P_1 \cdot V = P_2 \cdot V\), де \(V\) - початковий об"єм газу. Але ми цікавимося залежністю між тиском, тому припустимо, що початковий об"єм газу \(V\) дорівнює 1, щоб спростити розрахунки.

Отже, \(P_1 \cdot 1 = P_2 \cdot V\), де \(P_1\) - початковий тиск, \(P_2\) - кінцевий тиск. Але ми хочемо виразити \(P_2\) через \(P_1\).

Застосуємо формулу середньої квадратичної швидкості до початкового тиску \(P_1\) і кінцевого тиску \(P_2\):

\[v_1 = \sqrt{\frac{{3RT}}{{M}}}\]
\[v_2 = 9v_1 = 9\sqrt{\frac{{3RT}}{{M}}}\]

Підставимо ці значення в формулу Бойля-Маріотта:

\[P_1 \cdot 1 = P_2 \cdot V = P_2 \cdot 1\]
\[P_1 = P_2 \cdot \frac{{v_2^2}}{{v_1^2}}\]

Підставимо вирази для \(v_1\) і \(v_2\):

\[P_1 = P_2 \cdot \frac{{(9\sqrt{\frac{{3RT}}{{M}}})^2}}{{(\sqrt{\frac{{3RT}}{{M}}})^2}}\]
\[P_1 = P_2 \cdot \frac{{81 \cdot \frac{{3RT}}{{M}}}}{{\frac{{3RT}}{{M}}}}\]

Звідси очевидно, що \(P_1 = P_2 \cdot 81\), або \(P_2 = \frac{{P_1}}{{81}}\).

Отже, відповідь на задачу - тиск зміниться в 81 раз. Що відповідає варіанту відповіді: г) зміниться в 1/81 разів.