Як зміниться опір дроту, якщо одночасно збільшити у три рази довжину і діаметр? Як зміниться опір металевої дротини

Когда у вас есть длина \( L \), площадь поперечного сечения \( A \) и удельное сопротивление \( \rho \) материала, сопротивление \( R \) проводника можно выразить как:

\[ R = \rho \cdot \frac{L}{A} \]

1. Первая задача:

Пусть изначальная длина и диаметр дрота равны \( L_0 \) и \( D_0 \) соответственно. После увеличения длины в 3 раза и диаметра на 3 раза будут равны \( 3L_0 \) и \( 3D_0 \). Диаметр связан с площадью поперечного сечения следующим образом: \( A = \frac{\pi D^2}{4} \).

Для начального дрота:
\[ R_0 = \rho \cdot \frac{L_0}{\frac{\pi D_0^2}{4}} \]

Для измененного дрота:
\[ R_1 = \rho \cdot \frac{3L_0}{\frac{\pi (3D_0)^2}{4}} \]

После упрощения и сокращения, выражение для отношения сопротивлений будет:

\[ \frac{R_1}{R_0} = \frac{3L_0}{L_0} \cdot \frac{D_0^2}{(3D_0)^2} = 1 \cdot \frac{D_0^2}{9D_0^2} = \frac{1}{9} \]

Таким образом, опять же у чистого материала изменится в 9 раз.

2. Вторая задача:

Теперь, если увеличить длину и площадь поперечного сечения в 2 раза, то новое сопротивление \( R_2 \) будет:

\[ R_2 = \rho \cdot \frac{2L_0}{\frac{\pi (2D_0)^2}{4 \cdot 4}} \]

Снова проведя упрощение, получим:

\[ \frac{R_2}{R_0} = \frac{2L_0}{L_0} \cdot \frac{16D_0^2}{4D_0^2} = 2 \cdot 4 = 8 \]

Таким образом, сопротивление металлического проводника изменится в 8 раз при увеличении длины и площади поперечного сечения в 2 раза.