Як розрахувати довжину медіани трикутника з вершинами A(3,-2,1), B(-2,1,3) та C(1,3,-2)?

Чтобы рассчитать длину медианы треугольника, сначала нам необходимо найти координаты его вершин и затем использовать формулу для расчета длины вектора.

Давайте начнем с нахождения координат вершин треугольника. У нас есть вершины A(3,-2,1), B(-2,1,3) и C(1,3,-2).

Теперь, чтобы найти медиану треугольника, нам нужно найти середину каждой стороны. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Давайте обозначим середину стороны AB как M1, стороны BC как M2 и стороны CA как M3.

Чтобы найти середину стороны AB, мы можем использовать формулу нахождения средней точки на отрезке. Формула для нахождения середины стороны AB:

\( M1 = \left(\frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2}, \frac{{z_1 + z_2}}{2}\right) \),

где \( (x_1, y_1, z_1) \) - координаты вершины A, а \( (x_2, y_2, z_2) \) - координаты вершины B.

Подставляя значения координат вершин A и B, мы можем вычислить середину стороны AB:

\( M1 = \left(\frac{{3 + (-2)}}{2}, \frac{{-2 + 1}}{2}, \frac{{1 + 3}}{2}\right) = \left(\frac{{1}}{2}, \frac{{-1}}{2}, \frac{{4}}{2}\right) = \left(\frac{{1}}{2}, -\frac{{1}}{2}, 2\right) \).

Аналогично, найдем середины сторон BC и CA:

\( M2 = \left(\frac{{-2 + 1}}{2}, \frac{{1 + 3}}{2}, \frac{{3 + (-2)}}{2}\right) = \left(-\frac{{1}}{2}, \frac{{4}}{2}, \frac{{1}}{2}\right) = \left(-\frac{{1}}{2}, 2, \frac{{1}}{2}\right) \).

\( M3 = \left(\frac{{1 + 3}}{2}, \frac{{3 + (-2)}}{2}, \frac{{-2 + 1}}{2}\right) = \left(\frac{{4}}{2}, \frac{{1}}{2}, \frac{{-1}}{2}\right) = \left(2, \frac{{1}}{2}, -\frac{{1}}{2}\right) \).

Теперь у нас есть координаты середин сторон M1, M2 и M3. Чтобы найти длину медианы, нам нужно рассчитать длину вектора, соединяющего вершину треугольника с соответствующей серединой стороны.

Давайте рассмотрим медиану, проходящую через вершину A и середину стороны BC (то есть точку M1). Чтобы найти длину этой медианы, нам необходимо вычислить вектор из вершины A до точки M1, а затем найти его длину.

Вектор из вершины A до точки M1 может быть найден следующим образом:

\( \vec{AM1} = \left(\frac{{1}}{2} - 3, -\frac{{1}}{2} - (-2), 2 - 1\right) = \left(-\frac{{5}}{2}, \frac{{3}}{2}, 1\right) \).

Теперь мы можем вычислить длину этого вектора, используя формулу расчета длины вектора:

\( |\vec{AM1}| = \sqrt{{\left(-\frac{{5}}{2}\right)^2 + \left(\frac{{3}}{2}\right)^2 + 1^2}} = \sqrt{{\frac{{25}}{4} + \frac{{9}}{4} + 1}} = \sqrt{{\frac{{35}}{4} + 1}} = \sqrt{{\frac{{36}}{4}}} = \sqrt{{9}} = 3 \).

Таким образом, длина медианы треугольника, проходящей через вершину A и середину стороны BC (то есть точку M1), равна 3.