Як можна побудувати фігуру, яка буде симетричною відносно даного кола, але не матиме жодної спільної точки з цим колом?

Для того чтобы построить фигуру, симметричную относительно данного круга и не имеющую ни одной общей точки с этим кругом, мы можем использовать так называемый внешний круг.

Шаги для построения такой фигуры следующие:

1. Нарисуйте заданный круг в центре координатной плоскости (0,0) с радиусом R.
2. Проведите прямую линию, проходящую через центр круга и перпендикулярную к оси абсцисс.
3. Выберите точку на этой прямой, на расстоянии больше 2R от центра круга. Это будет центр внешнего круга.
4. Нарисуйте внешний круг с таким радиусом, чтобы он проходил через выбранную точку и пересекался с исходным кругом только в этой точке.

Теперь фигура, образованная этим внешним кругом, будет симметрична относительно заданного круга, но не будет иметь ни одной общей точки с ним. Обоснуем этот вывод.

Пусть (x,y) - любая точка на внешнем круге с центром в точке (c,d) и радиусом R". Тогда расстояние между центрами двух кругов будет равно:

\(\sqrt{(x-c)^2 + (y-d)^2}\)

Если мы предположим, что точка (x,y) также принадлежит исходному кругу с радиусом R, то расстояние между их центрами будет равно либо R, либо -R (в случае, если внутренний круг находится внутри внешнего круга). Но поскольку R" больше 2R, то интуитивно мы понимаем, что невозможно, чтобы два круга пересекались только по одной точке.

Поэтому фигура, образованная внешним кругом, будет соответствовать условиям задачи: она будет симметрична относительно заданного круга и не будет иметь ни одной общей точки с ним.