Як можна обчислити прискорення вільного падіння на поверхні іншої планети, якщо маса цієї планети становить двічі

Для решения данной задачи нам понадобятся законы тяготения, которые были открыты Исааком Ньютоном. Один из этих законов (второй закон Ньютона) гласит, что сила, действующая на тело, равна произведению его массы на ускорение. То есть

\[F = m \cdot a\]

где \(F\) - сила, \(m\) - масса тела, \(a\) - ускорение тела.

В данной задаче мы ищем ускорение вільного падіння на поверхні іншої планети. Ускорение свободного падения на Земле обозначим \(g\), а ускорение свободного падения на искомой планете обозначим \(g"\).

Так как на Земле ускорение свободного падения равно приблизительно 9,8 м/с², то мы можем записать:

\[F = m \cdot g\]

На искомой планете сила также равна произведению массы и ускорения:

\[F" = m" \cdot g"\]

Дано, что масса планеты вдвое больше массы Земли (\(m" = 2m\)), а радиус ее поверхности вдвое меньше радиуса Земли (\(r" = \frac{1}{2}r\)). Сила гравитационного притяжения между двумя телами определяется законом тяготения Ньютона:

\[F" = \frac{{G \cdot m" \cdot m}}{{r"^2}}\]

где \(G\) - гравитационная постоянная.

Подставим значения массы и радиуса искомой планеты в это уравнение:

\[F" = \frac{{G \cdot (2m) \cdot m}}{{(\frac{1}{2}r)^2}}\]

Чтобы упростить вычисления, заменим \(G \cdot 2\) на новую постоянную \(k\), тогда получим:

\[F" = \frac{{k \cdot m^2}}{{(\frac{1}{2}r)^2}}\]

Теперь сравним две силы:

\[F = F"\]
\[m \cdot g = \frac{{k \cdot m^2}}{{(\frac{1}{2}r)^2}}\]

Теперь мы можем найти ускорение на искомой планете \(g"\):

\[g" = \frac{{k \cdot m}}{{(\frac{1}{2}r)^2}}\]

Подставим в это уравнение значения \(k\), \(m\) и \(r\), чтобы найти \(g"\):

\[g" = \frac{{G \cdot m}}{{(\frac{1}{2}r)^2}}\]

Таким образом, ускорение свободного падения на искомой планете равно \(\frac{{G \cdot m}}{{(\frac{1}{2}r)^2}}\).