Which inequality should be solved: log2(14-14x) > = log2(x^2-5x+4) + log2(x+5)?

Дано неравенство: \(\log_2(14-14x) \geq \log_2(x^2-5x+4) + \log_2(x+5)\).

Для решения этой задачи сначала нужно привести выражения внутри логарифмов к единому основанию, применив свойства логарифмов. Затем мы сможем упростить неравенство и решить его.

Для начала, давайте рассмотрим свойства логарифмов. Первое свойство, которое мы будем использовать, гласит: \(\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y)\). Второе свойство: \(\log_b(x/y) = \log_b(x) - \log_b(y)\). И последнее третье свойство: \(\log_b(x^n) = n\log_b(x)\).

Применим первое свойство, чтобы объединить два логарифма в правой части неравенства:
\(\log_2(x^2-5x+4) + \log_2(x+5) = \log_2((x^2-5x+4)(x+5))\).

Теперь приведем выражение \(\log_2(14-14x)\) к тому же основанию:
\(\log_2(14-14x) = \log_2((2^2)(7-x)) = \log_2(4(7-x)) = \log_2(28-4x)\).

Таким образом, исходное неравенство принимает следующий вид:
\(\log_2(28-4x) \geq \log_2((x^2-5x+4)(x+5))\).

Теперь, чтобы избавиться от логарифмов, мы можем применить следующее свойство: если \(\log_b(x) \geq \log_b(y)\), то \(x \geq y\). Воспользуемся этим свойством и проведем эквивалентные преобразования.

\(\log_2(28-4x) \geq \log_2((x^2-5x+4)(x+5))\) эквивалентно:
\(28-4x \geq (x^2-5x+4)(x+5)\).

Раскроем скобки в правой части уравнения и упростим его:
\(28-4x \geq (x^3+5x^2-6x-20x-20)\).

После упрощения получим:
\(28-4x \geq (x^3+5x^2-26x-20)\).

Теперь приведем уравнение к стандартному виду кубического уравнения:
\(x^3+5x^2-26x-20-28+4x \geq 0\) (поменяем местами мономы).

После объединения слагаемых получим:
\(x^3+5x^2-22x-48 \geq 0\).

Теперь нужно найти значения x, при которых неравенство выполняется. Для этого мы можем использовать график функции и метод интервалов знакопостоянства.

Продолжение следует...