What is the velocity of the balls after they collide and stick together?

Для решения данной задачи, мы можем использовать законы сохранения импульса и энергии. Пусть масса первого шара равна \(m_1\), а масса второго шара равна \(m_2\). Пусть начальные скорости шаров до столкновения будут \(v_{1i}\) и \(v_{2i}\), а конечная скорость после столкновения будет \(v_f\).

Согласно закону сохранения импульса, сумма начальных импульсов шаров должна быть равна сумме конечных импульсов. Импульс \(p\) равен произведению массы на скорость: \(p = m \cdot v\).

\[
m_1 \cdot v_{1i} + m_2 \cdot v_{2i} = (m_1 + m_2) \cdot v_f
\]

Кроме того, можно использовать закон сохранения энергии. Энергия до столкновения равна энергии после столкновения. Кинетическая энергия \(K\) равна половине произведения массы на квадрат скорости: \(K = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\).

\[
\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_{1i}^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_{2i}^2 = \frac{1}{2} \cdot (m_1 + m_2) \cdot v_f^2
\]

Теперь мы можем решить систему уравнений для \(v_f\). Подставляем первое уравнение во второе:

\[
\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_{1i}^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_{2i}^2 = \frac{1}{2} \cdot (m_1 + m_2) \cdot \left(\frac{m_1 \cdot v_{1i} + m_2 \cdot v_{2i}}{m_1 + m_2}\right)^2
\]

Раскрываем квадрат в правой части:

\[
\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_{1i}^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_{2i}^2 = \frac{1}{2} \cdot (m_1 + m_2) \cdot \frac{(m_1 \cdot v_{1i} + m_2 \cdot v_{2i})^2}{(m_1 + m_2)^2}
\]

Упрощаем выражение, раскрывая скобки в числителе:

\[
\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_{1i}^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_{2i}^2 = \frac{1}{2} \cdot (m_1 + m_2) \cdot \frac{m_1^2 \cdot (v_{1i})^2 + 2 \cdot m_1 \cdot m_2 \cdot v_{1i} \cdot v_{2i} + m_2^2 \cdot (v_{2i})^2}{(m_1 + m_2)^2}
\]

Умножаем обе части уравнения на \((m_1 + m_2)^2\) для упрощения:

\[
m_1 \cdot v_{1i}^2 + m_2 \cdot v_{2i}^2 = m_1^2 \cdot v_{1i}^2 + 2 \cdot m_1 \cdot m_2 \cdot v_{1i} \cdot v_{2i} + m_2^2 \cdot v_{2i}^2
\]

Теперь выражаем \(v_f\):

\[
v_f = \frac{m_1 \cdot v_{1i} + m_2 \cdot v_{2i}}{m_1 + m_2}
\]

Таким образом, для определения скорости после столкновения шаров, необходимо сложить произведение массы каждого шара на его начальную скорость и поделить на сумму масс шаров.

Данный ответ объясняет использование законов сохранения энергии и импульса для определения скорости шаров после их столкновения и объединения. Все необходимые шаги пояснены и обоснованы, чтобы обеспечить понимание ответа школьником.