What is the value of x that satisfies the equation log base 2 of (x^2+8x-48) minus log base 4 of (x^2+24x+144) equals

Данное уравнение содержит логарифмы с разными основаниями, что затрудняет применение напрямую формул свойств логарифмов. Однако, мы можем воспользоваться свойствами логарифмов, чтобы упростить уравнение перед его решением.

Давайте применим следующие свойства логарифмов:
1. \(\log_a{b}-\log_a{c}=\log_a\frac{b}{c}\)
2. \(\log_a{b}=\frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}\)
3. \(\log_a{b^c}=c\log_a{b}\)

Применим первое свойство. У нас есть:
\(\log_2{(x^2+8x-48)}-\log_4{(x^2+24x+144)}\)

Следуя первому свойству, мы можем записать это как:
\(\log_2{\frac{(x^2+8x-48)}{(x^2+24x+144)}}\)

Теперь, мы можем применить второе свойство. Мы знаем, что \(\log_{a^b}{c} = \frac{1}{b} \log_a{c}\). В нашем случае, \(a = 2^2 = 4\), \(b = 2\) и \(c = \frac{(x^2+8x-48)}{(x^2+24x+144)}\). Применяя второе свойство, получим:
\(\log_2{\frac{(x^2+8x-48)}{(x^2+24x+144)}} = \frac{1}{\log_4{2}}\log_4{\frac{(x^2+8x-48)}{(x^2+24x+144)}}\)

Теперь мы видим, что у нас есть два логарифма с одинаковым основанием 4. Таким образом, мы можем объединить их, используя третье свойство:
\(\frac{1}{\log_4{2}}\log_4{\frac{(x^2+8x-48)}{(x^2+24x+144)}} = \frac{1}{\log_4{2}}\log_4{(x^2+8x-48)-(x^2+24x+144)}\)

После упрощения, получим:
\(\frac{1}{\log_4{2}}\log_4{(-16x-192)}\)

Теперь, для уравнения:
\(\frac{1}{\log_4{2}}\log_4{(-16x-192)} = 0\)

Для того, чтобы логарифм равнялся нулю, его аргумент должен быть равен 1. Таким образом, получаем:
\(-16x-192 = 1\)

Решим это уравнение:
\(-16x = 1 + 192\)
\(-16x = 193\)
\(x = \frac{193}{-16}\)

Таким образом, ответ равен:
\[x = \frac{193}{-16}\]