What is the value of cos⁡α if sin⁡α = √2/3

Дана задача: найти значение \(\cos\alpha\), если \(\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}\) и \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\).

Для решения этой задачи нам понадобится знание основных тригонометрических соотношений. Я покажу пошаговое решение задачи, чтобы было понятно и легко следовать.

1. Запишем известное нам соотношение: \(\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}\). Пользуясь определением синуса прямого угла, выпишем треугольник соответствующего угла:

\hfill\break
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
& \\
\alpha & \\
& \\
\hline
\frac{\sqrt{2}}{3} & \\
\hline
\end{array}
\]

Заметим, что в данной треугольнике противолежащий катет равен \(\sqrt{2}\), а гипотенуза равна 3.

2. Мы знаем, что \(\cos\alpha\) определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе. Можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти прилежащий катет:
\[
\text{прилежащий катет} = \sqrt{\text{гипотенуза}^2 - \text{противолежащий катет}^2} = \sqrt{3^2 - \sqrt{2}^2} = \sqrt{9 - 2} = \sqrt{7}
\]

3. Теперь, зная значение прилежащего катета (\(\sqrt{7}\)) и гипотенузы (\(3\)), можем найти значение \(\cos\alpha\) по формуле:
\[
\cos\alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{\sqrt{7}}{3}
\]

Таким образом, значение \(\cos\alpha\) равно \(\frac{\sqrt{7}}{3}\).