What is the sum of the logarithms base 16 of 144, base 12 of 144, and two-fifths of the logarithm base

Для начала давайте разложим задачу на более простые шаги. У нас есть несколько логарифмов с различными основаниями, и нам нужно найти их сумму. Звучит сложно, но давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Найдем логарифмы оснований 16 и 12 числа 144.
Логарифмы указывают, в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить заданное число. Давайте начнем с логарифма основания 16 числа 144.

\[
\log_{16}(144)
\]

Это означает, что мы хотим найти значение \(x\), для которого \(16^x = 144\). Мы знаем, что \(16 = 2^4\), поэтому можно переписать уравнение следующим образом:

\[
(2^4)^x = 144
\]

Теперь мы можем использовать свойство степени, умножая показатели степени:

\[
2^{4x} = 144
\]

Далее, чтобы избавиться от основания 2, найдем логарифм по основаниям 2 обеих частей уравнения:

\[
\log_{2}(2^{4x}) = \log_{2}(144)
\]

Так как логарифм по основанию \(a\) числа \(a^b\) равняется \(b\), мы можем упростить эту запись:

\[
4x = \log_{2}(144)
\]

Теперь давайте перейдем к следующему логарифму основания 12.

\[
\log_{12}(144)
\]

По аналогии с предыдущим примером, это означает, что мы хотим найти значение \(y\), для которого \(12^y = 144\). Зная, что \(12 = 2^2 \cdot 3\), мы можем переписать уравнение следующим образом:

\[
(2^2 \cdot 3)^y = 144
\]

Используя свойство степени, мы получаем:

\[
2^{2y} \cdot 3^y = 144
\]

Теперь найдем логарифм по основанию 2 обеих частей уравнения:

\[
\log_{2}(2^{2y} \cdot 3^y) = \log_{2}(144)
\]

Упрощая, получаем:

\[
2y + \log_{2}(3^y) = \log_{2}(144)
\]

Теперь у нас есть представление в виде линейного уравнения с двумя неизвестными.

Шаг 2: Решим уравнение и найдем значения неизвестных \(x\) и \(y\).
Продолжим с уравнением относительно \(x\):

\[
4x = \log_{2}(144)
\]

Опять же, используя свойство логарифма, мы можем переписать уравнение:

\[
2^{4x} = 144
\]

Чтобы найти значение \(x\), разделим обе части уравнения на 144:

\[
2^{4x} = 144 \quad \Rightarrow \quad \frac{2^{4x}}{144} = 1
\]

Теперь возьмем логарифм по основанию 2 от обеих частей уравнения:

\[
\log_{2}\left( \frac{2^{4x}}{144} \right) = \log_{2}(1)
\]

Сокращая, получаем:

\[
\log_{2}(2^{4x}) - \log_{2}(144) = 0
\]

Используем свойства логарифма:

\[
4x - \log_{2}(144) = 0
\]

Теперь мы можем решить уравнение относительно \(x\):

\[
4x = \log_{2}(144) \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\log_{2}(144)}{4}
\]

Точно так же применим этот подход для \(y\):

\[
2y + \log_{2}(3^y) = \log_{2}(144)
\]

Применим ту же стратегию решения:

\[
2y = \log_{2}(144) - \log_{2}(3^y) \quad \Rightarrow \quad y = \frac{\log_{2}(144) - \log_{2}(3^y)}{2}
\]

Шаг 3: Найдем два пятых логарифма основания 8.
Теперь, когда у нас есть значения переменных \(x\) и \(y\), мы можем найти два пятых логарифма основания 8.

\[
\frac{1}{5} \log_{8}(8)
\]

Здесь логарифм по основанию 8 числа 8 равен 1:

\[
\frac{1}{5} \cdot 1 = \frac{1}{5}
\]

Шаг 4: Найдем сумму всех найденных логарифмов.
Теперь у нас есть все необходимые значения для нахождения суммы:

\[
\frac{\log_{2}(144)}{4} + \frac{\log_{2}(144) - \log_{2}(3^y)}{2} + \frac{1}{5}
\]

Для удобства, мы можем объединить два слагаемых:

\[
\frac{\log_{2}(144)}{4} + \frac{2\log_{2}(144) - \log_{2}(3^y)}{10}
\]

Теперь, чтобы сложить дроби, необходимо привести их к общему знаменателю. Общим знаменателем будет 20:

\[
\frac{5\log_{2}(144)}{20} + \frac{4(2\log_{2}(144) - \log_{2}(3^y))}{20} + \frac{2}{20}
\]

Теперь можем сложить все числители:

\[
\frac{5\log_{2}(144) + 8\log_{2}(144) - 4\log_{2}(3^y) + 2}{20}
\]

Объединяя одинаковые слагаемые, получаем:

\[
\frac{13\log_{2}(144) - 4\log_{2}(3^y) + 2}{20}
\]

Это и есть окончательный ответ на задачу, решение которой было представлено пошагово. Мы нашли сумму логарифмов с различными основаниями.